1_Нормальное распределение

Лабораторная работа 1. Нормальное распределение.

Согласно центральной предельной теореме, случайная величина (с. в.) будет иметь распределение, близкое к нормальному, если она формируется под воздействием большого количества факторов, вклад каждого из которых мал.

Указанное распределение относится к типу непрерывных распределений. Для описания поведения такой случайной величины используют следующие характеристики: плотность распределения и функция распределения.

Плотность нормального распределения (плотность нормальной случайной величины) имеет вид

Функция нормального распределения (функция распределения нормальной случайной величины)

Как видно из представленных выше формул, поведение нормальной случайной величины зависит от двух параметров: среднего значения EX=а и дисперсии DX= 2 (σ при этом называется среднеквадратическим отклонением или стандартным отклонением). При a = 0, σ = 1 принято говорить о стандартном нормальном распределении.

Пример 1. Построить график плотности стандартного нормального распределения.

Указания. Для построения графика функции в MS Excel, необходимо сначала построить таблицу значений требуемой функции при различных значениях аргумента x, причем аргумент обычно изменяется с фиксированным шагом h. Шаг выбирают таким образом, чтобы таблица значений функции отражала ее поведение на интервале табуляции.

Согласно «правилу трех сигм», с вероятностью 99,7 % возможные значения нормальной случайной величины попадают в интервал [a – 3σ; a + 3σ]. Таким образом, для стандартного нормального распределения область изменения x возьмем от –3 до 3. В нашем случае шаг табуляции достаточно взять равным 0,5, т.е. переменная x будет принимать следующие значения –3; –2,5; –2 и т. д. (см. рис. ниже). В MS Excel можно использовать автоматическое заполнение ячеек.

Вычислим значения плотности распределения с помощью функции

НОРМ.РАСП(x; среднее; стандартное_откл; интегральная),

где параметр интегральная = 0 (см. рис.).

Задание 1. Объяснить, почему второй параметр функции равен нулю, а третий – единице.

При построении графика функции необходимо выбрать тип

«Точечная»/«Точечная с гладкими кривыми». Убедитесь, что построенная кривая распределения имеет характерный колоколообразный вид.

Задание 2. Выяснить, чем отличаются функции

НОРМ.РАСП(x; среднее; стандартное_откл; интегральная) и НОРМ.СТ.РАСП(х, интегральная).

Задание 3. Построить график интегрального стандартного нормального распределения, используя функцию НОРМ.РАСП(x; среднее;

стандартное_откл; интегральная), где параметр интегральная = 1.

Задание 4. Построить графики функции распределения и плотности стандартного нормального распределения, используя функцию НОРМ.СТ.РАСП(х, интегральная). Убедиться, что в случае стандартного распределения они попарно совпадают с графиками, построенными с помощью функции НОРМ.РАСП(…).

Задание 5. Зафиксируйте значение σ = 1. Построить графики плотности

плотности? При построении помните про «правило трех сигм», т.е. общая область значений случайной величины – интервал [amin – 3σ; amax + 3σ].

Задание 6. Зафиксируйте значение a = 1. Построить графики плотности нормального распределения для четырех различных значений среднеквадратического отклонения σ [0,1; 10]. Как влияет изменение параметра на график (и значения) плотности? Помните про общую область значений случайной величины.

Задание 7–8. Для параметров a и σ из заданий 5–6 построить графики функций распределения. Сделать выводы.

Задание 9. Проверить решения задач из файла «Нормальный закон распределения».