Реферат / Литература для реферата / Все вместе / Волкова В.Н., Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений Словарь-справочник

связи; если в контур входит нечетное число отрицательных причинно-следственных связей, то это контур отрицательной обратной связи. При этом полярность причинно-следственной связи между двумя элементами контура определяется реакцией элемента-следствия на изменение элемента-причины независимо от их связей с другими элементами.

На основе диаграммы причинно-следственных связей моделируемой системы стро­ ится диаграмма потоков и уровней - графическое изображение ИДМ в виде уровней и связывающих их потоков (рис. 4).

угольником, внутри которого помещают его обозначение LEV.X и номер уравнения, описывающего динамику уровня. Индекс X соответствует моменту времени, для которого берется значение уровня X+J, К, L. Значение уровня в настоящий момент времени К равно его значению в предыдущий момент J плюс (или минус) изменение уровня за пе­ риод от момента J до момента К.

Поток, вливаясь в уровень или вытекая из него, определяет изменение уровня. Обычные потоки являются материальными (например, поток рабочей силы, поток гото­ вой продукции, поток корреспонденции и т.п.). Кроме того, различают информационные потоки, с помощью которых принимается решение (определяется значение темпа потока на следующий интервал времени KL). Обычные потоки обозначаются непрерывными стрелками, информационные - штриховыми. Поток измеряется темпом потока, характе­ ризующим количество переносимого потоком ингредиента в единицу времени. В общем случае темп потока обозначается RT.

Принимается, что темп, определенный в момент J (или К), остается неизменным до мо­ мента К (или L). Так как темп действует на протяжении временного интервала DT, время его действия обозначается двумя индексами, соответствующими началу и концу временного интервала (например, RT.JK - темп, действующий на протяжении времени от J до К).

Количество уровней определяет порядок ИДМ. При построении ИДМ возникает не­ обходимость введения различных промежуточных, вспомогательных по своему назначе­ нию элементов, отображающих как промежуточные этапы в процедуре определения уровней и темпов, так и отдельные параметры (например, усредненные величины, запаз­ дывания и т. п.), влияющие на поведение моделируемой системы. Вспомогательные переменные обозначаются окружностью, и их вводят в модель по мере необходимости

мент времени J и принимающими новые значения скачкообразно в момент времени К. Так как некоторые переменные (например, темп потока) характеризуют принятие решений, интервал времени DT иногда называют ин­ тервалом принятия решений, т. е. имеется в виду, что решения, принятые в момент J (или К), определяют значения переменных, которые уже не меняются до момента К (или L).

120

Аппарат имитационного динамического моделирования. Рассмотрим более под­ робно основные элементы, применяющиеся при построении ИДМ, их формальное опи­ сание и характеристики. Обозначения соответствуют общим обозначениям ИДМ.

Контур положительной обратной связи. Диаграмма потоков и уровней для элементарного одноуровневого контура положительной обратной связи приведена на рис. 6. Единственный поток с темпом RT собирается в

уровне LEV. Темп потока прямо пропорционален уровню, С - константа пропорциональности. В соот­ ветствии с приведенными выше правилами и обозна­ чениями система описывается уравнением:

LEV.K = LEV.J + DTRT.JK, 1L,

где LEV.K - величина уровня в момент К; LEV.J -

величина уровня в момент J; RT.JK - темп потока,

вливающегося в уровень в течение интервала DT (от момента J до момента К). Цифра 1 в нумерации уравнения означает, что это первое уравнение, а буква L обозначает, что это уравнение уровня.

Зададимся начальными условиями

LEV = 1. Уравнение темпа: RT.KL = CLEV.K;

С = 0,2; DT = 1.

Проведя численное моделирование, получим экспоненциальный рост уровня и темпа (поэтому контур положительной обратной связи иногда называют контуром экспоненци­ ального роста). Темп постоянно увеличивается, так как он пропорционален уровню. Приращение уровня на каждый интервал времени DT также увеличивается, поскольку оно пропорционально темпу. Значения темпа и уровня экспоненциально растут (рис. 7).

Аналитически эту систему можно описать следующим образом:

LEV.K = LEV.J + DTRT.JK или

LEV.L = LEV.K + DT RT.KL, но

RT.JK = LEV.J + DTRT.JK.

Подставляя это выражение в предыдущее, получаем: LEV.K - LEV.J = CDTLEV.J

и при DT -> 0 имеем:

d(LEV(t)) = CLEV(t)dt, или d(LEV(t))/LEV(t) = C dt.

Заменяя t на т и интегрируя в пределах от нуля до t, получим

т. е. LEV(t) = LEV(0)e°.

Кривая экспоненциального роста характеризуется временной постоянной Т = 1/С и временем удвоения Td. Временная постоянная - это время, за которое значение уровня увеличивается в е раз. Она показывает, как быстро происходит рост в системе с положи­ тельной обратной связью. Время удвоения Td - это время, за которое начальное значение уровня увеличивается вдвое:

Td= Т1п2 « 0,69.

121

Поведение системы с положительной обратной связью легко понять из графика зави­ симости темпа RT от уровня LEV (рис. 8).

Любое начальное значение уровня LEV1, отлич­ ное от нуля, дает положительное значение темпа RT1 (точка 1). За интервал времени DT поток, величина которого определяется этим темпом, вливается в уро­ вень и увеличивает его значение до LEV2 (точка 2). Но этому значению уровня соответствует темп RT2. За следующий интервал времени DT уровень вновь увеличивается из-за влившегося в него потока с тем­ пом RT2 и т.д.

Таким образом, любое начальное возмущение системы с положительной обратной связью вызывает ее рост. В реально существующих системах рост длится до тех пор, пока система может подавлять

силы, замедляющие рост. Следовательно, в реальных системах, имеющих контуры по­ ложительной и других обратных связей, с течением времени усиливается влияние кон­ тролирующих обратных связей так, что они подавляют экспоненциальный рост.

Системы с отрицательной обратной связью . Их можно представить как сис­ темы, стремящиеся к цели GL; при этом чем дальше система от цели, тем большее уси­ лие нужно приложить для ее достижения. Рассмотрим в общем виде элементарный кон­ тур отрицательной обратной связи, изображенный на рис. 9.

В отличие от контура положительной об­ ратной связи здесь темп потока зависит от разности между фактическим и желаемым состоянием системы DISC. В нашем примере желаемое состояние - цель - определяется экзогенно (извне).

Модель описывается следующими урав­ нениями:

LEV.К = LEV.J + DTRT.JK,

где LEV - уровень (единиц); RT - темп (I/время);

RT.KL = CDISC.K,

где С - константа пропорциональности, характеризующая чувствительность системы (1/время); DISC - разность между целью и уровнем;

122

тает на меньшую величину, так как RT2 < RT1, и достигает значения LEV3 (точка 3). Этому уровню соответствует темп RT3 и т. д. По мере приближения уровня к цели GL его приращения за каждый следующий интервал времени DT будут все меньше и мень­ ше. Хотя теоретически они никогда не будут равны нулю, но практически при LEV«GL можно считать LEV=GL и RT=0, т.е. система достигнет устойчивого состояния (цели) и останется в нем. Что произойдет, если систему вывести из этого состояния? Пусть в ре­ зультате какого-то внешнего воздействия уровень увеличится до значения LEV4 (точка 4 ). Этому значению соответствует поток с темпом RT4; причем темп отрицательный, т. е. имеет место поток исходящий из уровня. В результате за время DT уровень уменьшится на какую-то величину и будет уменьшаться до тех пор, пока система вновь не достигнет равновесия в точке GL.

Выведем аналитический вид уравнения для LEV(t):

LEV.К = LEV.J + DTRT.JK;

LEV.К - LEV.J = DT C (GL - LEV.J).

При DT —> 0 получим

..1(цу(0) = c .dt

GL-LEV(t)

Меняя t на т и интегрируя в пределах от 0 до t, имеем:

LEV(t) = GL+(LEV(0) - GL) • е“ ° = LEV(0)+(GL - LEV(O)) - (1 - е"1').

График поведения элементов контура отрицательной обратной связи во времени представлен на рис. 11.

Характеристикой поведения такого контура является временная постоянная Т = 1/С. За время, равное Т, уровень увеличивается на (1 -1/е) разно­ сти между целью GL и достигнутым значением уровня (рис. 11)

LEV(T) = LEV(0)+(GL-LEV(0)(l-e-')

*LEV(0)+0,0632(GL-LEV(0)).

За время ЗТ значение уровня приблизительно равно 0,95GL, т. е. за это время система с отрица­

тельной обратной связью примерно достигает своей цели. Характер поведения контура отрицательной обратной связи зависит от величины цели и начального значения уровня.

123

Эта система описывается следующими уравнениями:

LEV.К = LEV.J + DTRT.JK;

RT.KL = - CLEV.K.

Графики «темп-уровень» и «зависимость темпа и уровня от времени» для такой сис­ темы приведены на рис. 14.

Аналитическое уравнение уровня для данного случая имеет вид

LEV(t) = LEV(O) • е 'а = LEV(O) • е- '" где Т - временная постоянная.

За время Т уровень уменьшается в у раз от начального значения.

Кроме временной постоянной такая система характеризуется временем полужизни Th - это время, за которое начальное значение уровня уменьшается вдвое, т. е.

LEV(Th)= ^ LEV(0).

Рис. 14

Рассмотрим теперь систему с отрицательной обратной связью, имеющую дополни­ тельный постоянный поток с темпом RT2, на который система не может оказать влияния.

Диаграмма потоков и уровней для этого случая приведена на рис. 15. Система опи­ сывается следующими уравнениями:

LEV.K = LEV.J + DT* (RT1.JK + RT2.JK);

RT1 .KL = CDISC.K;

RT2.KL = CONST;

DISK.K = GL-LEV.K.

Проанализируем поведение такой сис­ темы с помощью графика «темп-уровень» (рис. 16). Линия a (RT1) дает график для системы без RT2. Линия Ъ (RT2) соответ­ ствует постоянному входящему потоку RT2. Линия с (чистый темп NTRT) соот­ ветствует нашей системе, в которой темп равен сумме RT1 и RT2.

Предположим, что входящий поток RT2 начинает действовать, когда значение уровня равно цели. Уровень увеличивает­ ся до значения LEV1, что вызывает исхо­ дящий поток RT1, так как LEV1>GL. Од­

нако темп RT1, соответствующий LEV1, по абсолютному значению меньше RT2, то есть суммарный темп двух потоков будет больше нуля; в результате этого уровень возрастает до LEV2 и т.д. Так будет продолжаться до тех пор, пока темп исходящего потока RT1 не сравняется с темпом входящего потока RT2. Это произойдет, когда уровень достигнет

124

значения новой цели NGL, т. е.

NGL = GL + (1/C)*RT2.

Это будет новое равновесие со­ стояния системы. Очевидно, что в данном случае система с отрицатель­ ной обратной связью компенсирует входящий постоянный поток при достижении нового равновесного уровня (отличного от прежнего), такого, что соответствующий ему исходящий поток, определяемый сис­ темой, равен по величине входящему,

Структура S-образного роста. Общий вид кривой S-образного роста, называе­ мой также логистической (или сигмоидальной), показан на рис. 17. Кривая разбивается на две области: экспоненциального роста (типичную для положительной обратной связи) и асимптотического роста (типичную для отрицательной обратной связи).

Характерным примером S-образного роста является рост численности биологических популяций на замкну­ той территории или рост производительности однотип­ ного оборудования по мере его модернизации. Рост такого вида означает, что в системе вначале действует положительная, а затем - отрицательная обратная связь.

Диаграмма потока и уровни элементарной струк­ туры S-образного роста приведена на рис. 18.

Поведение S-образного характера в данном случае

обеспечивается специальным способом определения темпа. Величина темпа задается таб­ лично в зависимости от значения уровня LEV. График темп-уровень, обеспечивающий S- образный рост (рис. 19), состоит из двух частей: прямой с положительным наклоном (ти­ пичная положительная обратная связь) и прямой с отрицательным наклоном (типичная отрицательная обратная связь).

Рис. 19

Вначале (до точки перегиба) уровень и темп растут экспоненциально, т.е. как в сис­ теме с положительной обратной связью. После точки перегиба темп (хотя и остается сначала положительным) уменьшается по абсолютной величине с ростом уровня. В ито­ ге кривая роста начинает загибаться, асимптотически приближаясь к значению цели. Если значение уровня превысит значение цели, появляется отрицательный поток, воз­

125

вращающий систему в состояние равновесия (к значению LEV = GL). Вообще говоря, структура S-образного роста имеет две точки равновесия. Первая (при LEV = 0) - точка неустойчивого равновесия, так как любое отклонение уровня от нуля усиливается в силу того, что здесь действует положительная обратная связь. Вторая (при LEV = GL) - точка устойчивого равновесия, так как здесь отклонение уровня от цели в силу действия отрицательной обратной связи подавляется.

Приведенная на рис. 18 система описывается следующими уравнениями:

LEV.K = LEV.J +DTRT.JK;

RT.KL = RTV.K;

RTV.K = TABLE(RTT, LEV.K, Х0, Хп, ДХ);

RTT = Yo/Y,/.../Yn.

Уравнение RTV означает, что RTV является табличной функцией LEV, которая меняется в пределах от Х0 до Хп через ДХ. Собственно значения RTV приводятся в табл. RTT, где Y0 - значение RTV при LEV = X0>Yj = RTV при LEV = Хь ..., Yn= RTV при LEV = Xn. Временная зависи­ мость уровня и темпа приведена на рис. 20. Необходимо

отметить, что любая одноуровневая система, имеющая график темп-уровень с изменяю­ щимся знаком наклона, показывает S-образный рост.

Запаздывания. В реальных системах всегда имеются запаздывания, связанные с тем, что любое принимаемое решение реализовать мгновенно невозможно, а также с тем, что все процессы в природе, обществе, производстве и т.д. инерционны. Например, от приня­ тия решения о строительстве предприятия до его ввода в строй проходит определенное время, какое-то время проходит и до выпуска первой продукции этим предприятием, ее перевозки к потребителям и т.п. Для отображения этих явлений в ИДМ вводятся специаль­ ные элементы запаздывания, упрощенно учитывающие такие процессы. Смысл запаздыва­ ния состоит в том, что любой входящий поток появляется на выходе не сразу, а через неко­ торое время. Графически это можно изобразить так, как показано на рис. 21.

Вхоояший

поток

Рис. 21

В терминах ИДМ запаздывания изображаются так, как на рис. 22. В сжатой форме их

126

Обозначение запаздывания на рис. 22 и 23 расшифровывается так: IN - входящий в запаздывание поток; LEV - общее количество, находящееся в запаздывании, оно описы­ вается уравнением (5); DEL - общее время запаздывания, за которое темпы входящего и выходящего потоков сравниваются, а количество, находящееся в запаздывании, стано­ вится постоянным; D2 - запаздывание второго порядка, т. е. имеющее внутри себя два промежуточных уровня. Это же обозначает и индекс 2 в уравнении OUT; OUT.KL - выходящий из запаздывания поток, он описывается уравнением (6).

Приведенные уравнения описывают запаздывание второго порядка. При запаздывании другого порядка количество уравнений изменится. Например, для запаздывания третьего порядка будет не четыре, а шесть промежуточных уравнений, а также общие уравнения для OUT и LEV, т. е. всего восемь уравнений; для запаздывания четвертого порядка - десять и т.д. При этом в уравнениях темпов в знаменателе будет стоять соответственно DEL/3, DEL/4 и т.д. Фактически запаздывание n-го порядка представляет собой п последовательно соединенных запаздываний первого порядка или пакет п уравнений.

Кроме описанных элементов ИДМ, имеются еще и такие, как усреднения, с различ­ ными типами которых, а также с различными модификациями описанных выше базовых элементов можно более детально ознакомиться в [2-4].

Методика построения и применения ИДМ в управлении. Весь процесс построе­ ния ИДМ можно разделить на следующие этапы:

1)анализ вербального описания моделируемой системы с целью выделения взаимо­ действий ее отдельных элементов;

2)построение диаграммы причинно-следственных связей, определение полярностей связей

иконтуров причинно-следственных связей, выделение среди переменных уровней итемпов;

3)построение на основе диаграммы причинно-следственных связей диаграммы по­ токов и уровней;

4)перевод диаграммы потоков и уровней в математическую форму, то есть написа­ ние уравнений динамики модели;

5)верификация модели (проверка модели на адекватность и приведение ее в соот­ ветствие с моделируемой системой).

127

Адекватная ИДМ используется для проверки результатов предполагаемых управлен­ ческих решений и различных альтернатив развития. Однако применение ИДМ в управ­ лении возможно практически на всех этапах моделирования. Так, уже при анализе вер­ бального описания выявляются отдельные логические противоречия алгоритмов функ­ ционирования системы, которые можно оперативно устранить. При построении диа­ граммы причинно-следственных связей в результате идентификации и уточнения этих связей уточняется вербальное описание и могут быть определены оперативные меры по улучшению функционирования системы. Диаграмма потоков и уровней и математиче­ ское описание модели, которые строятся на основе диаграммы причинно-следственных связей и вербального описания, часто вызывают необходимость корректировок и уточ­ нений, которые могут быть оперативно реализованы в управлении, и т.д. Схема процесса построения и применения ИДМ в управлении дана на рис. 24.

Корректировочные

управляющие

воздействия

Реальная (моделируемая система)

Р и с . 24

Задавая различные альтернативы поведения ИДМ, меняя ее уравнения и структуру, можно получить наборы результатов, характеризующих поведение моделируемой систе­ мы и последствия, к которым приводят те или иные управленческие решения. Отбирая, например, на основе использования оптимизационных методов одну альтернативу, опре­ деляют, каким должно быть управляющее воздействие, приводящее моделируемую сис­ тему в оптимальное состояние. Применение ИДМ совместно с АСУ позволяет при опре­ деленных условиях построить автоматизированную информационно-советующую систе­ му, которая по запросу пользователя будет в автоматическом режиме формировать раз­ личные управленческие решения, отбирать оптимальное решение и информировать о нем пользователя. Более подробно структура и функционирование таких систем рас­ смотрены в [3, 4].

Наряду с проверкой результатов решений на основе прямого моделирования ИДМ может использоваться для обратного моделирования, то есть моделирования от заданно­

128