ЧМ Лабораторная работа 4
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра комплексной информационной безопасности электронновычислительных систем (КИБЭВС)
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.
Отчет по лабораторной работе №4 по дисциплине «Численные методы»
Студент гр. 7х3-х
_______ ххххххх
_______
Принял:
Старший преподаватель КИБЭВС
_______ Катаева Е.С.
_______
Томск 2024
|
Содержание |
|
1 Введение.............................................................................................................. |
3 |
|
2 ХОД РАБОТЫ.................................................................................................... |
4 |
|
2.1 |
Численное интегрирование...................................................................... |
4 |
2.2 |
Численное дифференцирование............................................................... |
7 |
2.3 |
Численное решение дифференциального уравнения (задача Коши)... |
9 |
Заключение........................................................................................................... |
16 |
|
Приложение А...................................................................................................... |
17 |
|
Приложение Б...................................................................................................... |
21 |
|
Приложение В...................................................................................................... |
23 |
|
2
1 Введение
Целью работы является освоение вычислительных методов нахождения определенного интеграла и исследование точности вычислений при разном числе разбиений; освоение и изучение точности методов численного дифференцирования; изучение методов группы Рунге-Кутта для численного решения дифференциального уравнения первого порядка (задачи Коши).
3
2 ХОД РАБОТЫ
2.1 Численное интегрирование
Для численного интегрирования было написано программное решение, представленное в приложении А.
В основе программы лежат методы левых прямоугольников (2.1), правых прямоугольников (2.2), трапеций (2.3) и Симпсона (2.4).
|
|
b |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
∫f (x)dx=h∑ yi ; |
|
|
|
(2.1) |
||||
|
|
a |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
n |
|
|
|
(2.2) |
|
|
|
∫f (x)dx=h∑ yi ; |
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
h |
n−1 |
|
|
|
||
∫f (x)dx= |
(y0+yn)+h ∑ yi ; |
|
|
(2.3) |
||||||
|
|
|
||||||||
a |
|
|
2 |
|
i=1 |
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
n−2 |
n−2 |
] |
|
(2.4) |
|
h |
|
2 |
2 |
|
||||||
∫f (x)dx= |
|
y0+4 ∑ y(2i+1)+2 ∑ y2 i+y n |
, |
|||||||
3 |
|
|||||||||
a |
[ |
|
|
i=0 |
i=1 |
|
|
|||
где h=b−n a , n – число разбиений [a; b].
В качестве индивидуального задания был дан определенный интеграл
(2.5):
7 |
|
|
(2.5) |
I =∫sin(0,25 x ) √ |
|
dx |
|
0,92 x |
|||
5 |
|
|
|
На рисунке 2.1 представлен результат работы программы.
4
Рисунок 2.1 – Результат В таблице 2.1 представлены результаты работы всех методов.
Таблица 2.1 – Численное интегрирование
|
n = 6 |
n = 40 |
n = 120 |
n = 400 |
|
|
|
|
|
Метод левых |
5,388 |
4,749 |
4,673 |
4,647 |
прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод правых |
4,71 |
4,647 |
4,639 |
4,637 |
прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод трапеций |
5,465 |
4,76 |
4,677 |
4,648 |
|
|
|
|
|
Метод Симпсона |
5,088 |
4,703 |
4,658 |
4,642 |
|
|
|
|
|
5
Исходя из полученных данных можно сделать вывод, что метод Симпсона в большинстве случаев является самым точным, так как в нем используется больше информации об отрезке.
6
2.2 Численное дифференцирование
Для численного дифференцирования было написано программное решение, представленное в приложении Б.
В основе программы лежат формулы правой (2.6), левой (2.7) и центральной (2.8) разностных производных.
′( )≈ |
( + )− ( ) |
; |
|
(2.6) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
′( )≈ |
|
( )− ( − ) |
; |
|
(2.7) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
′( )≈ |
|
( + )− ( − ) |
, |
(2.8) |
|||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
где h – шаг для вычисления разделенной разности.
В качестве индивидуального задания была дана функция (2.9), производную которой нужно было вычислить при x = 2:
f (x)=2 x2+ln(x)−2 |
(2.9) |
||||
Точное значение производной: |
|
|
|
|
|
f '(2)=4 х+ |
1 |
=4 2+ |
1 |
=8,5 |
|
|
x |
|
2 |
|
|
На рисунке 2.2 представлен результат работы программы.
Рисунок 2.2 – Результат В таблице 2.2 представлены результаты работы всех методов.
7
Таблица 2.2 – Численное дифференцирование
Аналитический вид |
Точное |
Левая |
Правая |
Центральная |
заданной функции |
значение |
разность |
разность |
разность |
|
производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=2 x2+ln(x)−2 |
8,5 |
8,313 |
8,688 |
8,5 |
|
|
|
|
|
Исходя из полученных данных можно сделать вывод, что самым точным способом для численного дифференцирования является нахождение центральной разностной производной, так как она больше всех совпадает с аналитически найденным значением производной.
8
2.3 Численное решение дифференциального уравнения (задача Коши)
Для численного решения дифференциального уравнения было написано программное решение, представленное в приложении В.
В основе программы лежат формулы метода Эйлера (2.10), метода РунгеКутта 2-го порядка (2.11) и метод Рунге-Кутта 4-го порядка (2.12).
|
|
|
y +1= + ∙ (x , ), =0, … , −1; |
(2.10) |
||||
|
|
y +1= + |
∙ (x , )+ ∙ (x +1 , + ∙ (x , )); |
(2.11) |
||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y +1= + |
∙( 1+2 2+2 3+ 4), |
(2.12) |
||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
где |
1 |
= ( , ), 2= ( + |
|
, |
+ ∙ 1), 3= ( + |
, + ∙ 2), 4= ( + , + ∙ 3), шаг |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
h = 0,1.
В качестве индивидуального задания было дано дифференциальное уравнение с краевым условием y0 = 1 (2.13):
y ′=sin(x )+2 y +exp(x +2)
Точное решение дифференциального уравнения:
yi=−2sin (xi )−cos(xi )−exi +2+8,589 e2 xi 5 5
На рисунке 2.3, рисунке 2.4 и рисунке 2.5 представлены результаты работы программы для методов Эйлера, Рунге-Кутта 2-ой степени и РунгеКутта 4-ой степени соответственно.
9
Рисунок 2.3 – Результат для метода Эйлера
Рисунок 2.4 – Результат для метода Рунге-Кутта 2-ой степени
10