ЧМ Лабораторная работа 3
.pdf
2.2 Построение интерполяционного полинома Лагранжа
Для построения интерполяционного полинома Лагранжа было реализовано программное решение, представленное в приложении А.
В основе программы лежит формула квадратичного полинома Лагранжа
(2.1):
|
|
( )= |
|
( − )( − ( +1)) |
|
|
+ |
( |
− ( −1))( − ( +1)) |
|
+ |
|
( − ( −1))( − ) |
|
|
||||||||||||
|
( |
|
− |
)( |
|
− |
) |
( |
− |
)( |
− |
) |
( |
|
− |
|
)( |
|
− ) |
||||||||
|
2 |
|
( −1) |
( −1) |
|
( −1) |
|
|
( +1) |
( −1) |
( +1) |
( +1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( +1) |
|
|
|
|
( −1) |
|
|
( +1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(2.1)
Для искомой точки x выбираются узлы соответствующие условиям:
{x(i−1)<x ; x(i+1)>x ;
x(i−1)<xi<x(i+1)
Если х > xmax, то берутся последние три известные точки. Если x<xmin, то берутся первые три известные точки.
На рисунке 2.6 представлен результат работы программы для первой последовательности точек.
Рисунок 2.6 – Результат
11
На рисунке 2.7 представлен результат работы программы для второй последовательности точек.
Рисунок 2.7 – Результат На рисунке 2.8 представлен результат работы программы для третьей
последовательности точек.
Рисунок 2.8 – Результат
12
Вычисленные с помощью программы значения совпадают со значениями, полученными в пункте 2.1.
13
2.3 Построение аппроксимирующей квадратной функции с помощью метода наименьших квадратов
Для построения аппроксимирующей квадратной функции было реализовано программное решение, представленное в приложении Б.
В основе программы лежит система для нахождения коэффициентов функции (2.2) и формула квадратичной функции (2.3):
n |
n |
n |
n |
|
a ∑xi4+b ∑xi3+c ∑xi2=∑yi xi2 ; |
|
|||
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=0 |
|
n |
n |
n |
n |
(2.2) |
a ∑xi3+b ∑xi2+c ∑xi=∑ yi xi ; |
||||
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=0 |
|
n |
n |
n |
|
|
{a ∑i=0 |
xi2+b ∑i=0 |
xi+c n=∑i=0 |
yi |
|
|
y=ax2+bx +c |
|
(2.3) |
|
Для решения системы уравнений используется метод Зейделя.
На рисунке 2.9 представлен результат работы программы для первой последовательности точек.
Рисунок 2.9 – Результат
14
На рисунке 2.10 представлен результат работы программы для второй последовательности точек.
Рисунок 2.10 – Результат На рисунке 2.11 представлен результат работы программы для третьей
последовательности точек.
Рисунок 2.11 – Результат
15
Для первой последовательности точек формула квадратичной функции (2.4) имеет вид:
у=−2,385 x2+5,402 x−1,175; |
(2.4) |
Для второй последовательности точек формула квадратичной функции |
|
(2.5) имеет вид: |
|
у=0,0724 х2+0,253 x+1,750; |
(2.5) |
Для третьей последовательности точек формула квадратичной функции |
|
(2.6) имеет вид: |
|
у=−0,113 х2+0,400 x−0,285; |
(2.6) |
На рисунке 2.12 представлен график аппроксимирующей функции и первой последовательности точек.
Рисунок 2.12 – Аппроксимация ряда точек
16
На рисунке 2.13 представлен график аппроксимирующей функции и второй последовательности точек.
Рисунок 2.13 – Аппроксимация y = ln(1,77x2 + 6,03)
На рисунке 2.14 представлен график аппроксимирующей функции и третьей последовательности точек.
Рисунок 2.14 – Аппроксимация y = cos(6,98x + 1,56)
17
2.4Анализ результатов
Втаблице 2.1 представлены результаты для первой последовательности
точек.
Таблица 2.1 – Результаты для первой последовательности
x |
y(x) |
L2(x) |
∆x = |y(x) – L2(x)| |
~ |
∆x = |y(x) – |
~ |
(x)| |
f (x) |
f |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi = 1.4 |
-1,3869 |
-1,3869 |
0 |
1,7123 |
3,0992 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* = 1.1 |
– |
1,6981 |
– |
1,8807 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃1̃= 3 |
– |
-9,7509 |
– |
-6,4361 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2̃= 4.5 |
– |
-69,223 |
– |
-25,166 |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В таблице 2.2 представлены результаты для второй последовательности |
|||||||
точек. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 – Результаты для второй последовательности |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y(x) |
L2(x) |
∆x = |y(x) – L2(x)| |
~ |
∆x = |y(x) – |
~ |
(x)| |
f (x) |
f |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi = 1.4 |
2,2512 |
2,2512 |
0 |
2,2468 |
0,0044 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* = 1.1 |
2,1007 |
2,1005 |
0,0002 |
2,1164 |
0,0157 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1̃= 3 |
2,4283 |
3,08943 |
0,66113 |
3,1621 |
0,7338 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2̃= 4.5 |
3,7346 |
3,7449 |
0,0103 |
4,3571 |
0,6225 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
В таблице 2.3 представлены результаты для третьей последовательности точек.
Таблица 2.3 – Результаты для третьей последовательности
x |
y(x) |
L2(x) |
∆x = |y(x) – L2(x)| |
~ |
~ |
(x)| |
|
f (x) |
∆x = |y(x) – |
f |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi = 1.4 |
0,3301 |
0,3301 |
0 |
0,05443 |
0,27567 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* = 1.1 |
-0,9826 |
-0,8836 |
0,099 |
0,01875 |
1,00135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃1̃= 3 |
-0,8733 |
-2,9968 |
2,1235 |
-0,07485 |
0,79845 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2̃= 4.5 |
0,01672 |
-55,157 |
55,17372 |
-0,7634 |
0,78012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из полученных результатов можно сделать вывод о том, что для функций, подобных первой последовательности точек, лучше использовать полином Лагранжа, так как в нем очень малая погрешность, по сравнению с МНК.
Для монотонно идущих функций лучше всего использовать полином Лагранжа для нахождения промежуточных точек графика и вычисления значений прогнозных точек, в особенности для дальнего прогноза, так как погрешность мала.
Для периодических функций лучше использовать полином Лагранжа для нахождения промежуточных точек и МНК для расчета прогнозных точек.
Также можно сделать вывод, что существует зависимость от вида функции в выборе подхода к построению приближенной функции.
19
Заключение
В ходе данной лабораторной работы были построены квадратный интерполяционный полином Лагранжа для последовательности точек и для функции в аналитическом виде и аппроксимирующая квадратная функции для последовательности точек и для функции в аналитическом виде, вычислены промежуточные точки, ближние и дальние прогнозные точки.
20