ИДЗ / МО ИДЗ вариант Б

Таблица 2.2.2 – Результаты для f5(x)

21

Заключение

В ходе выполнения данной работы были получены навыки нахождения минимального значения функции методами: золотого сечения, дихотомии, Нелдера-Мида и наискорейшего спуска. По результатам выполнения задания разработаны программы для каждого метода, составлены графики нахождения минимального значения, описан процесс выбора начальных точек и составлены таблицы значений для каждой итерации.

По полученным результатам наиболее эффективным методом для минимизации одномерной функции является метод дихотомии, для минимизации многомерной функции – метод Нелдера-Мида. Метод наискорейшего спуска плохо справляется с функциями, подобными f5(x).

22

Приложение А Метод золотого сечения

decimal a0 = 0; decimal b0 = 10;

decimal alpha = 0.618m; decimal beta = 0.382m; decimal e = 0.001m;

int iteration = 0;

decimal F1(decimal x)

{

decimal y1 = 2 - Convert.ToDecimal(Math.Exp(-Math.Pow(((Convert.ToDouble(x) - 5) / 4), 2)));

return y1;

}

decimal F2(decimal x)

{

decimal y2 = 5 * (x - 1) * (x - 5) * (x - 4); return y2;

}

decimal F3(decimal x)

{

decimal y3 = (x / 2) + 8 * Convert.ToDecimal(Math.Sin(3 * Math.PI * Convert.ToDouble(x) + 1));

return y3;

}

decimal delta = b0 - a0; void GoldenRatio()

{

decimal x_alpha = a0 + (alpha * delta);

23

decimal x_beta = a0 + (beta * delta);

decimal f_alpha = F1(x_alpha);

decimal f_beta = F1(x_beta);

//decimal f_alpha = F2(x_alpha);

//decimal f_beta = F2(x_beta);

//decimal f_alpha = F3(x_alpha);

//decimal f_beta = F3(x_beta);

if (f_beta >= f_alpha)

{

a0 = x_beta;

}

else

{

b0 = x_alpha;

}

delta = delta * alpha;

if (delta < e)

{

Console.WriteLine();

Console.WriteLine($"Отрезок [a; b]: [0; 10]");

Console.WriteLine($"x_alpha = {decimal.Round(x_alpha, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)}; x_beta = {decimal.Round(x_beta, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)}");

Console.WriteLine($"y_alpha = {decimal.Round(f_alpha, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)}; y_beta = {decimal.Round(f_beta, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)}");

24

Console.WriteLine($"Количество итераций: {iteration}");

}

else

{

iteration++;

Console.Write($"x_alpha = {decimal.Round(x_alpha, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)}; x_beta = {decimal.Round(x_beta, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} ");

Console.Write($"y_alpha = {decimal.Round(f_alpha, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)}; y_beta = {decimal.Round(f_beta, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} ");

Console.WriteLine($"{iteration}");

GoldenRatio();

}

}

GoldenRatio();

25

Приложение Б Метод дихотомии

decimal a0 = 0; decimal b0 = 10; decimal e = 0.001m; decimal d = 0.0006m; int iteration = 0;

decimal F1(decimal x)

{

decimal y1 = 2 - Convert.ToDecimal(Math.Exp(-Math.Pow(((Convert.ToDouble(x) - 5) / 4), 2)));

return y1;

}

decimal F2(decimal x)

{

decimal y2 = 5 * (x - 1) * (x - 5) * (x - 4); return y2;

}

decimal F3(decimal x)

{

decimal y3 = (x / 2) + 8 * Convert.ToDecimal(Math.Sin(3 * Math.PI * Convert.ToDouble(x) + 1));

return y3;

}

decimal delta = b0 - a0;

void Dichotomy()

{

decimal x1 = (a0 + b0 - d) / 2;

26

decimal x2 = (a0 + b0 + d) / 2;

decimal f1 = F1(x1);

decimal f2 = F1(x2);

//decimal f1 = F2(x1);

//decimal f2 = F2(x2);

//decimal f1 = F3(x1);

//decimal f2 = F3(x2);

if (f1 <= f2)

{

b0 = x2;

}

else

{

a0 = x1;

}

delta = b0 - a0;

if (delta < e)

{

Console.WriteLine();

Console.WriteLine($"x1 = {decimal.Round(x1, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} x2 = {decimal.Round(x2, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} ");

Console.WriteLine($"y1 = {decimal.Round(f1, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} y2 = {decimal.Round(f2, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} ");

Console.WriteLine($"Количество итераций: {iteration}");

}

27

else

{

iteration++;

Console.Write($"x1 = {decimal.Round(x1, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} x2 = {decimal.Round(x2, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} ");

Console.Write($"y1 = {decimal.Round(f1, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} y2 = {decimal.Round(f2, 3,

MidpointRounding.AwayFromZero)} ");

Console.WriteLine($"{iteration}");

Dichotomy();

}

}

Dichotomy();

28

Приложение В Метод Нелдера-Мида

decimal e = 0.001m; decimal alpha = 1; decimal gamma = 2; decimal beta = 0.5m; int iteration = 0; double t = 1; double n = 2;

decimal F45(decimal x, decimal y)

{

decimal z1 = 5 * Convert.ToDecimal(Math.Pow(Convert.ToDouble(x) - 2, 2)) + 5 * Convert.ToDecimal(Math.Pow(Convert.ToDouble(y) - 3, 2));

return z1;

//decimal z2 = Convert.ToDecimal(Math.Pow(Convert.ToDouble(x) - 5, 2) + Math.Pow(Convert.ToDouble(y) - 6, 2) + 50 * Math.Pow(Convert.ToDouble(y + (4 * x) - 6), 2) + 1.4);

//return z2;

}

decimal a = Convert.ToDecimal((t * (Math.Sqrt(n + 1) + n - 1)) / (Math.Sqrt(2) * n)); decimal b = Convert.ToDecimal((t * (Math.Sqrt(n + 1) - 1)) / (Math.Sqrt(2) * n));

decimal[] x1 = { 0, 0 }; decimal[] x2 = { a, b }; decimal[] x3 = { b, a };

void NelderMead()

{

29

decimal f1 = F45(x1[0], x1[1]); decimal f2 = F45(x2[0], x2[1]); decimal f3 = F45(x3[0], x3[1]);

decimal fmax = Math.Max(f1, Math.Max(f2, f3)); decimal fmin = Math.Min(f1, Math.Min(f2, f3));

decimal[] heavy = new decimal[2]; decimal[] light = new decimal[2]; decimal[] centre = new decimal[2]; decimal[] xi = new decimal[2];

decimal Ostanov(decimal[] heavy, decimal[] light, decimal[] xi, decimal[] centre)

{

decimal ostanovka = Convert.ToDecimal(Math.Sqrt((1 / (n + 1)) * Math.Pow(Convert.ToDouble(F45(heavy[0], heavy[1]) - F45(centre[0], centre[1])), 2) + Math.Pow(Convert.ToDouble((F45(light[0], light[1]) - F45(centre[0], centre[1]))), 2) + Math.Pow(Convert.ToDouble((F45(xi[0], xi[1]) - F45(centre[0], centre[1]))), 2)));

return ostanovka;

}

if (fmax == f1) { heavy = x1; }

else if (fmax == f2) { heavy = x2; } else { heavy = x3; }

if (fmin == f1) { light = x1; }

else if (fmin == f2) { light = x2; } else { light = x3; }

xi[0] = (x1[0] + x2[0] + x3[0]) - (heavy[0] + light[0]);

30