2 курс / Анализ данных / СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Из полученной оценки понятно, что для решения задачи должна быть применена приближённая формула Пуассона

Рn (k) k e− k!

при п = 2000, k = 2 и = пр = 2000 0,001 = 2 :

Р2000 (2) 22 e−2 = 0,2707 2!

Мы использовали

таблицу значений для Рn (k) k e− k!

при k = 2 и = пр = 2 .

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 4.

Известно, что среди выпускаемых изделий изделия первого сорта составляют

20%, остальные – высшего сорта. Какова вероятность того, что из 400 прове-

ренных изделий не менее 50, но и не более 90 окажутся изделиями первого сорта?

Решение.

Вероятность события А: «Проверяемое изделие окажется изделием первого сорта»

( Р( А) = 10020 = 0,2 ) остаётся постоянной в серии из 400 независимых испытаний. Имеет

место схема испытаний Бернулли. Однако п = 400 – велико. npq = 400 0,2 (1 − 0,2) = 64 10 ,

следовательно, будет применяться интегральная формула Лапласа

Рn (k1 k k2 ) (x2 ) − (x1) : Р400 (50 k 90) (x2 ) − (x1) ,

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Вычислим значения аргументов для функции Лапласа:

Теперь найдём ответ на вопрос задачи:

Р400 (50 k 90) (1,25) − (−3,75) =

=(1,25) + (3,75) = 0,39435 + 0,49991 =

=0,89426

При вычислениях были использованы:

свойство нечётности функции Лапласа и её табличные значения для аргументов 1,25 и 3,75.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 5

Вероятность выхода из строя для приборов определённого типа со-

ставляет 0,001. Найти вероятность того, что из 2000 проверяемых приборов выйдут из строя более двух приборов.

Решение.

В примере 3 мы уже обосновали необходимость применения прибли-

жённой формулы Пуассона, опираясь на оценку произведения npq :

npq = 2000 0,001 (1 − 0,001) = 2000 0,001 0,999 =1,998<<10.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Поэтому просто найдём ответ на вопрос задачи:

Р2000 (2 k 2000) 1 − (P2000 (0) + P2000 (1) + P2000 (2)) =

=1 – (0,1353 + 0,2707 + 0,2707) =

=0,3233.

При этом мы использовали:

табличные значения для Рn (k) k e− k!

при = пр = 2000 0,001 = 2 и k = 0, k = 1, k = 2.