2 курс / Анализ данных / СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Для ответа на вопрос задачи необходимо переоценить вероятность третьей гипотезы. Для этого используем формулу Бейеса:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P(H3 ) P( A |
|
H3 ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
120 |
|
10 |
|
|
|||
P(H 3 |
|
A) = |
|
3 |
2 |
|
= |
|
= |
= |
= 0,5263 |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P( A) |
|
38 |
|
|
|
6 38 |
|
228 |
|
19 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 5.
В трёх списках, представленных экспертами, содержится перечень проверенных предприятий. В списке из 10 предприятий, проверенных первым экспертом, два имеют нарушения в финансовой отчётности, во втором списке из 8 предприятий нарушения отчётности отмечены у трёх предприятий, а из 12 предприятий, проверенных третьим экспертом, нарушения выявлены у 5 предприятий. Из каждого списка наугад выбирают одно предприятие и затем из них выбирают одно для повторной проверки. Какова вероятность того, что в результате будет выбрано предприятие, не имеющее нарушений в финансовой отчётности?
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Так как не известно, какая тройка предприятий по одному из каждого списка будет выбрана, необходимо выдвижение следующих гипотез:
Н1: |
«Все |
три |
выбранных |
из |
соответствующих |
списков |
|
|
предприятия имеют нарушения в финансовой отчётности». |
||||||
Н 2 : |
«Все |
три |
выбранных |
из |
соответствующих |
списков |
|
|
предприятия не имеют нарушений в финансовой |
||||||
|
отчётности». |
|
|
|
|
|
|
Н3 : «Только одно из трёх выбранных |
из соответствующих |
||||||
|
списков предприятий имеет нарушения в финансовой |
||||||
|
отчётности». |
|
|
|
|
|
|
Н 4 : «Только одно из трёх выбранных |
из соответствующих |
||||||
списков предприятий не имеет нарушений в финансовой отчётности».
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Вероятности гипотез вычисляем с применением формулы классической вероятности, а также предложений 2, 5 и 9:
Р(Н1) = 102 Р(Н2 ) = 108 Р(Н3 ) = 102 Р(Н4 ) = 108
83
85
85
83
125 = 96030 = 321 ,
127 = 960280 = 247 ,
127 + 108 83 127 + 108 85 125 = 960438 = 16073 ,
125 + 102 85 125 + 102 83 127 = 960212 = 24053 .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Вероятность события А: «Предприятие, выбранное одно из трёх, не будет иметь нарушений в финансовой отчётности» вычисляем по формуле полной вероятности в присутствии четырёх гипотез:
P( A) = P(H1) P( A H1) +P(H2 ) P( A H2 ) +Р(H3 ) P( A H3 ) + Р(Н4 ) Р( А Н4 )
=321 03 + 247 33 + 16073 23 + 24053 13 =
=0 + 840 + 876 + 212 = 1928 = 241 = 0,6694 . 2880 2880 360
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Серия из n испытаний проходит по схеме Бернулли, если выполнены условия:
-эти испытания независимы,
-каждое из них имеет только два исхода (А наступило или А не наступило),
-вероятность наступления события А
в каждом испытании одна и та же и равна р = Р( А) .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Наступление события А принято называть «успехом».
«Неуспех» связан с тем, что событие А не наступило,
поэтому Р( А) =1 − р = q .
Если испытания проходят по схеме Бернулли, то вероятность k «успехов» при n испытаниях вычисляют по формуле Бернулли:
Pn (k) = Cnk pk qn−k ,
здесь
Cnk = |
n! |
|
р = Р( А) , |
q =1 − р . |
||
|
|
, |
||||
k!(n − k)! |
||||||
|
|
|
|
|||
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 1.
Испытываются пять независимо работающих одинаковых прибора. Вероятность отказа в работе для каждого прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что в результате проводящихся испытаний откажет только один прибор.
Решение.
Испытания проходят по схеме Бернулли: они независимы и вероятность отказа остаётся неизменной от опыта к опыту, поэтому ответ на вопрос задачи найдём по формуле Бернулли при п = 5, k = 1, p = 0,2 и q = 1 – 0,2 = 0,8:
P5 (1) = C51 0,21 0,85−1 = 5 0,2 0,4096 = 0,4096.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Понятно, что для различных значений k соответствующие вероятности
Pn (k ) , вообще говоря, различны.
Однако, наиболее вероятное количество «успехов» k0 всегда подчиняется неравенству:
np + p −1 k0 np + p .
Если верхняя граница np + p оценочного неравенства получается дробным числом, тогда наиболее вероятное число «успехов» k0 определяется единственным образом.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли весьма
затруднительны, поэтому для решения задач используют
приближённые формулы.
Различают:
•локальную формулу Муавра-Лапласа,
•интегральную формулу Лапласа,
•приближённую формулу Пуассона.