2 курс / Анализ данных / СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 2.

Из коробки, содержащей 5 красных и 3 зелёных шара, последовательно без возвращения извлекают два шара. Какова вероятность того, что извлечены разноцветные шары?

Решение.

Можно рассмотреть событие из вопроса задачи А: «Извлечены разноцветные шары» как результат действий с более простыми событиями, моделирующими опыт, связанный с формированием выборки без возвращения: А = Iк II з + I з IIк , где, например, Iк определяет событие

«Первым извлекли красный шар». При решении задачи надо учитывать, что при извлечении второго шара общее количество шаров в коробке уменьшается на один (первый извлечённый шар в коробку не возвращается):

P(

Ответ: 0,5357.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Предложения 6 и 7 для независимых событий примут вид:

Предложение 8. P( A B ) = P( A ) P( B )

Предложение 9. P( A1 A2 ... An ) = P( A1 ) P( A2 ) ...P( An )

В последнем случае события должны быть независимыми в совокупности: наступление какого-либо из них не изменяет

вероятности наступления оставшихся событий, а также любых их произведений.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 3.

Предприятие оформило кредиты в трёх разных банках, оценив вероятность возврата кредита первому банку в 0,8, второму – в 0,9 и третьему – 0,7. Какова вероятность того, что предприятие вернёт все взятые кредиты? Какова вероятность того, что предприятие вернёт только один из взятых кредитов?

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Поэтому вероятность события А вычислим с применением предложения 9:

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Событие В: «Предприятие вернёт только один из взятых кредитов» может быть представлено как

В = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 .

При вычислении применяем предложения 2, 5 и 9:

Р(В) = Р( А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 ) =

= Р( А1 А2 А3 ) + Р( А1 А2 А3 ) + Р( А1 А2 А3 ) =

= 0,8 (1 − 0,9) (1 − 0,7) + (1 − 0,8) 0,9 (1 − 0,7) + (1 − 0,8) (1 − 0,9) 0,7 =

= 0,8 0,1 0,3 + 0,2 0,9 0,3 + 0,2 0,1 0,7 =

= 0,092.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА

Если событие А может наступить только с одним из событий

H1 ,H 2 ,....,H n , образующих полную группу испытания,

то вероятность наступления события А вычисляют по

формуле полной вероятности:

P( A ) = P( H1 ) P( A H1 ) +P( H 2 ) P( A H 2 ) +... + P( H n ) P( A H n )

События H1 ,H 2 ,....,H n называют

априорными гипотезами.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Если событие А уже наступило, то становится понятным, вместе с каким из событий H1 ,H 2 ,....,H n это произошло.

В этом случае соответствующая гипотеза, обеспечившая наступление события А, называется апостеорной, и её вероятность может быть переоценена по формуле Бейеса:

P(H i A ) = P( Hi ) P( A Hi ) P( A )

В знаменателе – полная вероятность события А.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 4.

Три эксперта составили списки предприятий с нарушениями в финансовой отчётности. В списке, составленном первым экспертом, 4 предприятия, вторым – 5 предприятий и третьим – 2 предприятия.

Для проведения повторной проверки наугад выбирается список и из него наугад выбирается предприятие. Какова вероятность того, что предприятие для повторной проверки было выбрано из списка, составленного третьим экспертом?

Решение.

Так как список выбирается наугад, необходимо выдвинуть гипотезы: Н1: «Выбран список, составленный первым экспертом»,

Н2 : «Выбран список, составленный вторым экспертом»,

Н3 : «Выбран список, составленный третьим экспертом».

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Гипотезы равновероятны:

Вероятность события А: «Для повторной проверки будет выбрано одно предприятие» вычисляется по формуле полной вероятности:

P( A) = P(H1) P( A H1) +P(H 2 ) P( A H 2 ) +Р(H3 ) P( A H3 ) =