2 курс / Анализ данных / СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Благоприятные исходы связаны с наступлением события А, значит,

необходимо знать, сколькими способами формируется выборка из 1 белого и 2 чёрных шаров. Понятно, что белые шары извлекаются из белых, а чёрные – из чёрных, затем полученные значения перемножаются:

k = C31 C72 = 1!32!! 27! !5! = 3 21 = 63

Теперь можно вычислить вероятность события А:

P( A ) = kn = 12063 = 4021 = 0,525

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Если число исходов испытания несчётно, то применяют формулу геометрической вероятности:

P( A) = мера g мера G ,

где G обозначена область осуществления испытания,

g – область наступления события, вероятность которого и вычисляют.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример .

Внутри квадрата со стороной 10 см находится круг радиуса 4 см. Случайным образом в квадрат вбрасывается точка. Какова вероятность того, что точка не попадёт в круг?

Решение.

Так как множество точек квадрата несчётно, при решении задачи будет применяться формула геометрической вероятности. Для этого необходимо вычислить меры (площади) области осуществления испытания и области наступления события А: «Точка, вброшенная в квадрат, не попадает в круг».

g

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Мерой области осуществления испытания является площадь квадрата:

мера G = 10 2 =100 ( кв.см)

Область наступления события отмечена штриховкой, её меру можно найти вычитанием из площади квадрата площади круга:

мера g = 100 − 42 =100 −16 (кв.см)

Теперь может быть вычислена вероятность события А:

Р(А) = мера g =

мера G

100 −16 = 1 − 0,16 1 − 0,503 = 0,497 . 100

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предложение 1.

Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий А + В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Предложение 2.

P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1) + P( A2 ) + ... + P( An ) ,

если Ai Aj = при i j .

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 1.

Из коробки, содержащей 5 красных, 3 зелёных и 2 белых шара, извлекают один. Какова вероятность того, что извлечённый шар не будет белым?

Решение.

Событие из вопроса задачи «Извлечённый шар не будет белым» может быть заменено эквивалентным событием «Извлечённый шар – красный или зелёный», что представляет собой сумму попарно несовместных событий А: «Извлечённый шар – красный» и В: «Извлечённый шар – зелёный», поэтому для ответа на вопрос задачи применим предложение 1:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 105 + 103 = 108 = 0,8

Ответ: 0,8.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Попарно несовместные события, сумма которых образует всё пространство событий, называют

полной группой испытания.

Если события H1 ,H 2 ,....,H n образуют полную группу,

то для них всегда выполнены условия:

1. H i H j = при i j ,

2.H1 + H 2 + ... + H n =

3.P( H1 ) + P( H 2 ) + ... + P( H n ) = 1

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Если вероятность события А вычисляется при условии наступления события В, то такую вероятность называют условной и обозначают: P( A B ) или PB ( A ).

Предложение 6.

Вероятность произведения двух событий вычисляют как:

P( AB) = P( A) P(B A) = P(B) P( A B)