2 курс / Анализ данных / ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
! = 1 2 3 . . .
По определению полагают
1! = 1
и
0! = 1.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если в перестановке из п элементов есть
одинаковые, то она определяется как
перестановка с повторениями.
Число всех перестановок с повторениями
вычисляют по формуле:
|
|
|
|
! |
|
Р |
1, 2, . . . , |
= |
|
|
|
1 |
! 2! . . . ! |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
В этой формуле п определяет длину перестановки,
1 определяет, сколько раз элемент 1 встречается в перестановке,
2 определяет, сколько раз элемент 2 встречается в перестановке, …,
определяет, сколько раз элемент встречается в перестановке.
Понятно, что 1 + 2+. . . + = .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если в составляемых наборах порядок следования элементов не важен, то мы имеем дело с сочетаниями.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Сочетанием из п элементов по |
k без повторений |
называют любое k -элементное |
подмножество п - |
элементного множества. |
|
Число всех сочетаний из п элементов по k без
повторений вычисляют по формуле:
!
= ! − !
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Важнейшие свойства сочетаний без повторений:
• |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
= |
|
+ −1 |
||
|
|
−1 |
|
−1 |
|
• 0 |
+ 1 |
+ 2 |
+. . . + = 2 |
||
|
|
|
|
|
|
•+ =
= 0 |
0 |
+ 1 |
−1 1 |
+ 2 |
−2 2 |
+. . . + −1 |
1 |
−1 |
+ 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если в выбираемых соединениях порядок следования
элементов не важен, но могут встречаться одинаковые
элементы, то в таком случае говорят о сочетаниях из п
элементов по k с повторениями.
Формула для вычисления числа всех сочетаний из п
элементов по k с повторениями имеет вид:
С = +−1.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 4. Из 10 членов правления необходимо выбрать председателя и его первого и второго заместителей.
Сколькими различными способами это можно сделать?
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Председателя, его первого заместителя и второго заместителя можно рассматривать как упорядоченный набор длины 3, составленный из элементов 10-элементного множества, при этом элементы в наборе не могут быть одинаковыми (не может председатель быть одновременно и заместителем), поэтому для ответа на вопрос задачи
необходимо найти число всех размещений без повторений из
10 элементов по 3:
103 = 10 9 8 = 720.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 5.
10 членам правления предложена анкета, в которой только 2
варианта ответа «поддерживаю существующую стратегию развития предприятия» и «стратегия развития требует изменений». Сколько существует различных вариантов
заполнения такой анкеты десятью членами правления?