2 курс / Анализ данных / ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 1. Банк имеет 10 филиалов в европейской

части России и 15 филиалов в азиатской части России.

Правление банка принимает решение о проверке работы

всех своих филиалов. Сколькими различными способами

можно выбрать один филиал для проверки с участием

председателя правления банка?

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Решение.

Множество европейских филиалов обозначим А, тогда m(A)=10, множество азиатских филиалов обозначим В, тогда m(В)=15. Понятно, что условие ∩ = выполнено.

Для ответа на вопрос задачи необходимо выбрать один элемент из объединения непересекающихся множеств.

Поэтому применяем правило суммы: 10+15=25.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 2. Банк имеет 10 филиалов в европейской части

России и 15 филиалов в азиатской части России. Правление

банка принимает решение о проверке работы всех своих

филиалов. Председатель правления банка хочет принять участие в проверке только двух филиалов банков – одного европейского и одного азиатского.

Сколькими различными способами можно выбрать такую пару филиалов для проверки с участием председателя правления банка?

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Решение.

Множество европейских филиалов обозначим А, тогда m(A)=10, множество азиатских филиалов обозначим В, тогда

m(В)=15.

Европейский филиал х из множества А можно выбрать

10 способами, азиатский филиал у из множества В можно выбрать 15 способами, пару филиалов (х; у) для проверки с участием председателя правления банка можно

выбрать m(A) m(В) = 10 15 = 150 способами.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 3. Банк имеет 10 филиалов в европейской части России и 15 филиалов в азиатской части России. Правление банка принимает решение о проверке работы всех своих филиалов. Председатель правления банка хочет принять участие в проверке только двух европейских филиалов банков в течение одной командировки.

Сколькими различными способами может быть выбрана

пара филиалов, если для председателя банка важно,

какой из филиалов будет первым при посещении,

а какой – вторым?

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Решение.

Множество европейских филиалов обозначим А, тогда m(A)=10.

Европейский филиал х для посещения первым из множества А можно выбрать 10 способами, филиал у для посещения вторым тоже выбираем из множества А, но уже при условии того, что филиал для х выбран, то есть выбор у осуществляется из оставшихся 10 − 1 = 9 возможностей. Пару

филиалов ( х; у ) для проверки с участием председателя правления банка рассматриваем как упорядоченную: председателю важно, какой филиал он

посещает первым, а какой – вторым.

Поэтому для ответа на вопрос задачи применяем правило произведения: 10 9 = 90.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Размещением из п элементов по k называют любой

упорядоченный набор длины k, составленный из элементов п-

элементного множества. Если все элементы в наборе

различны, то размещение определяется как размещение без

повторений, если же среди элементов набора могут быть

одинаковые, то размещение определяется как размещение с

повторениями. Число всех размещений вычисляется по

правилу произведения.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Для размещений без повторений имеет место

формула:

А = ( − 1) ( − 2) . . . ( − + 1).

Для размещений с повторениями имеет место

формула:

=

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Перестановкой из п элементов без повторений

называют любое размещение из п элементов по п без

повторений.

Число всех перестановок из п элементов без

повторений находят по формуле:

= !