2 курс / Анализ данных / ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Основы Комбинаторного анализа

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

В комбинаторном анализе используют основные понятия теории множеств: элемент множества, объединение и пересечение множеств,

декартово произведение множеств, численность (мощность) множества.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Различают три уровня решения комбинаторных задач. На первом уровне осуществляется поиск хотя бы одного расположения элементов, удовлетворяющего заданным условиям. Этот начальный уровень важен тем, что позволяет хорошо представить объект из вопроса задачи. Если комбинаторная задача имеет несколько решений (а на первом уровне решения это становится очевидным), то возникает вопрос о подсчете числа таких решений,

и уже на втором уровне

определяют количество всех возможных решений комбинаторной задачи.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Третий уровень предполагает поиск оптимального варианта решения в случае, если различные решения комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами.

Третий уровень приводит

к теории оптимизации,

которая выходит за рамки нашего курса.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

При подсчёте количества необходимых соединений используют два основных правила – правило суммы и правило произведения.

Рассмотрим их подробнее.

Пусть некоторое множество М состоит из п элементов (( ) = ), тогда один элемент из этого множества можно выбрать п способами.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Правило суммы. Если один элемент из

объединения множеств А и В ( ) можно выбрать m(A)+m(В) способами, при условии,

что множества А и В не пересекаются

( ∩ = ).

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Правило суммы применяется в тех случаях, когда речь

идёт о выборе одного элемента из какой-либо

совокупности, представленной объединением непересекающихся множеств, поэтому его можно обобщать на любое количество таких множеств.

В сложных задачах правило суммы применяется при

необходимости подсчёта количества независимых исходов,

связанных с составлением каких-либо

соединений элементов с заданными свойствами

(если проведена детализация определённого свойства).

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Правило произведения. Если элемент х из

множества А можно выбрать m(A) способами, элемент

у из множества В можно выбрать m(В) способами,

то упорядоченную пару вида ( х; у ) можно выбрать m(A) m(В) способами.

Правило произведения обобщается на выбор упорядоченных наборов любой длины.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Набор элементов считается упорядоченным, если элементы выбираются из различных множеств.

Если набор формируется из элементов одного и того же множества, то упорядоченность понимается в привычном

смысле: важно, какой элемент какое место по порядку в наборе занимает. Во этом случае, оценивая возможности выбора какого-либо элемента в наборе, считают, что все предыдущие элементы уже выбраны, и оценку ведут на основе оставшихся вариантов.