2 курс / Анализ данных / НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Прямым следствием теоремы Чебышёва является теорема Бернулли,

которая даёт теоретическое обоснование замене неизвестной вероятности события относительной частотой, полученной при п повторных независимых испытаниях, проводимых при одном и том же комплексе условий.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Из условия теоремы Бернулли следует, относительная частота

наступления события kп сходится по вероятности

к теоретической вероятности p = P( A) этого события.

Таким образом, обоснована замена неизвестной вероятности относительной частотой события.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Центральная предельная теорема определяется группой теорем,

устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения. Важнейшее место в этой группе занимает теорема Ляпунова. Мы сформулируем её в наиболее простой форме.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Теорема Ляпунова.

Если случайные величины X1, X 2 , ..., X n независимы,

имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии:

E( X1) = E( X 2 ) = ... = E( X n ) = a D( X1) = D( X 2 ) = ... = D( X n ) = 2 ,

а также абсолютный центральный момент третьего порядка

3 = E(X − E( X ) 3 ), то при неограниченном увеличении

п (n → ) закон распределения суммы этих величин

Sn = X1 + X 2 + ... + X n неограниченно приближается

к нормальному закону.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Для решения задач удобно использовать «более аналитическую»

формулировку этой теоремы, рассматривая переход от величины Sn = X1 + X 2 + ... + X n

к центрированной и нормированной величине

Sn' = Sn − E(Sn ) . (Sn )

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

После несложных преобразований с использованием свойств математического ожидания и дисперсии суммы независимых величин

получим выражение для Sn' :

Sn' = Sn − na .

n