2 курс / Анализ данных / НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ |
|
Пример 9. |
|
Для величины Х N(1, 4) найти |
P(−1 X 3) . |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
Из определения нормально распределённой величины и данных |
||||||
условия задачи можно найти значение параметров распределения: |
||||||
Х N( , |
2 |
) Х N(1, 4) =1, = |
|
2 |
= |
4 = 2. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
|
x2 |
− |
x1 |
− |
||||
Теперь по формуле P(x1 X x2 ) = |
|
|
|
|
− |
|
|
находим |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
ответ на вопрос задачи:
|
3 −1 |
|
−1 −1 |
|
|
|
|||
P(−1 X 3) |
= |
|
|
|
− |
= |
(1) |
− (−1) |
= (1) + (1) = |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= 2 (1) = |
2 0,34134 = 0,68268. |
|
|
|||||
При вычислениях использовано свойство нечётности функции Лапласа и таблица её значений.
Ответ: P(−1 X 3) = 0,68268.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Параметры и нормального распределения величины Х N( , 2 )
имеют совершенно определённый вероятностный смысл, а именно:
= E( X ) , |
= D( X ) . |
Поэтому если известна плотность вероятности нормально распределённой величины, то фактически сразу известны и её математическое ожидание,
и дисперсия, и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 10. Величины X и Y независимы и распределены по нормальным законам с известными плотностями вероятностей:
|
|
|
|
(x −5) |
2 |
|
|
|
|
(y −2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
1 |
e |
− |
8 |
, |
f ( y) = |
1 |
e |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Найти |
E( X |
2 |
− Y |
2 |
) . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Найдём числовые характеристики величин X и Y, исходя
из вероятностного смысла параметров:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
(x −5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = |
|
|
|
|
e |
8 |
|
E( X ) = = 5, |
D( X ) = |
2 |
= 4 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
− |
(y −2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f ( y) = |
|
|
|
e |
2 |
|
|
E(Y ) = = 2 , |
D(Y ) = |
2 |
=1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Теперь будем искать ответ на вопрос задачи, используя |
|
||||||||||||
свойства числовых характеристик: |
|
|
|||||||||||
E( X |
2 |
− Y |
2 |
) = E( X |
2 |
) − E(Y |
2 |
) |
2 |
2 |
) = |
||
|
|
|
|
= (D( X ) + E( X ) |
)− (D(Y ) + E(Y ) |
||||||||
|
|
|
|
= (4 + |
5 |
2 |
)− (1 + 2 |
2 |
) = 24. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
E( X |
2 |
− Y |
2 |
) = 24. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 11.
Величина Х имеет нормальное распределение с известной |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
плотностью вероятности f (x) = |
1 |
e |
− |
8 |
. |
|
||||
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Найти P( |
|
X − E( X ) |
|
( X )). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Исходя из вероятностного смысла параметров,
найдём числовые характеристики величины Х:
1 |
|
|
− |
(x −5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) = |
|
|
|
e |
|
E( X ) = = 5, |
= D( X ) = |
= 2 |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Теперь можно уточнить вопрос задачи: P(X − E( X ) ( X )) = P(X − 5 2)
и найти на него ответ:
P(X − 5 2) = 1 − P(X − 5 2) = 1 − P(− 2 X − 5 2)= 1 − (P(3 X 7) =
|
|
7 − 5 |
|
3 − 5 |
− ( (1) |
− (−1)) = 1 − 2 (1) |
|
||
= 1 − |
|
|
|
− |
|
= 1 |
= |
||
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
= 1 – 2 0,34134 = 1 – 0,68268 = 0,31732.
Ответ: P(X − 5 2) = 0,31732.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если Х – нормально распределённая случайная величина,
то и величина Y = aX + b , где a,b − const , тоже имеет нормальное распределение.
Линейная комбинация нормально распределённых величин сама является нормально распределённой величиной.