2 курс / Анализ данных / НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
находят, применяя интегрирование:
+
E( X ) = x f (x)dx ,
−
+
D( X ) = (x − E( X ))2 f (x)dx ,
−
+
k = E( X k ) = xk f (x)dx ,
− |
|
|
|
k = E(( X − E( X ))k ) |
+ |
|
|
|
|||
= (x − E( X ))k f (x)dx |
|
||
|
|
− |
|
+∞ |
+∞ |
|
|
( , ) = |
|
( − ( )) ( − ( )) ( ) |
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Все рассмотренные свойства математического ожидания, дисперсии и ковариации сохраняются. Уточним только свойство для
математического ожидания величины, функционально зависящей от Х:
+
E( ( X )) = (x) f (x)dx
−
Понятно, что эти числовые характеристики для непрерывной случайной величины существуют только в случае сходимости несобственных интегралов, на основе которых они определяются.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 4.
Для непрерывной величины Х функция плотности вероятности
имеет вид:
|
|
|
|
|
0, |
x 3 |
|
||
|
1 |
|
|
|
f (x) = |
|
|
(x − 3), |
3 x 5 . |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
0, |
x 5 |
|
||
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Для вычисления математического ожидания применим формулу:
+
E( X ) = x f (x)dx .
−
В нашем случае имеем:
|
|
|
+ |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
E( X ) = x f (x)dx = х f (x)dx + |
х f (x)dx + х f (x)dx = |
|
|
|
х(x − 3)dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
5 |
|
2 |
|
1 |
|
x3 |
3x |
2 |
5 |
|
1 |
|
125 |
|
75 |
|
27 |
|
27 |
|
|
|
|
13 |
|
||||||||
= |
|
|
(x |
|
− 3x)dx = |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
( |
|
|
− |
|
|
) − ( |
|
− |
|
|
) |
= |
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Для вычисления дисперсии применим формулу:
+
D( X ) = (x − E( X ))2 f (x)dx .
−
В нашем случае получим:
+
D( X ) = (x − E( X ))2 f (x)dx =
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
13 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
13 |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
13 |
|
2 |
|
|
||||||||
= |
(х − |
) |
|
f (x)dx + (х − |
) |
f (x)dx + |
(х − |
) |
f (x)dx = |
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
13 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
5 |
|
|
|
2 |
|
|
26 |
|
169 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= (х − |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
(x − 3)dx = |
|
|
(х |
|
|
− |
|
|
x + |
|
|
) (x − 3)dx |
= |
|
||||||||||
3 |
|
|
2 |
2 |
|
|
3 |
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
=
=1
2
=1
2
1 2
5 |
|
3 |
|
|
(x |
||
|
|||
3 |
|
|
x |
4 |
||
− |
|||
|
|
||
|
4 |
||
( |
625 |
||
|
4 |
||
|
|
||
− |
26 |
x |
2 |
+ |
169 |
x − 3x |
2 |
+ 26x − |
|
|
|||||||
3 |
|
9 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
35x |
3 |
|
403x |
2 |
|
169 |
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ |
|
− |
|
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
|
9 |
|
|
|
18 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
35 125 |
+ |
403 25 |
− |
169 5 |
) |
||||||||
|
|
9 |
|
|
|
18 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
169 |
|
1 |
5 |
|
)dx = |
(x |
|||
3 |
2 |
|||
|
3 |
|||
|
|
|
− ( |
81 |
− |
35 27 |
|
4 |
9 |
|||
|
|
3 |
− |
35 |
x |
2 |
+ |
403 |
x − |
169 |
)dx = |
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
9 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
403 9 |
|
169 3 |
|
|
2 |
+ |
18 |
− |
3 |
) |
= |
9 |
|
|
|
|
Ответ: |
E( X ) = |
13 |
, D( X ) = |
2 |
. |
|
3 |
9 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Величина Х равномерно распределена на отрезке a; b ,
если её плотность вероятности имеет вид:
|
|
|
|
|
0, x a |
|
|||
|
|
1 |
, a x b |
|
f (x) = |
b |
− a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0, x b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
График плотности вероятности имеет вид:
f (x)
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Функция распределения F (x) = P( X x) восстанавливается по функции
x
плотности с использованием условия F (x) = f (t)dt и принимает вид:
−
|
|
0, < |
|
( ) = |
− |
, ≤ ≤ . |
|
− |
|
||
|
1, > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Можно построить и график функции распределения:
F (x)
1
a |
b |
|
|
|
|