2 курс / Анализ данных / НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Непрерывные случайные величины
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если множество значений случайной величины представляет собой часть или всё множество действительных чисел, то случайная величина определяется как непрерывная.
Понятно, что закон распределения в виде таблицы для такой величины не составить, поэтому непрерывные случайные величины задаются с помощью функции, устанавливающей связь между возможными значениями величины и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Функцией распределения случайной величины Х называется функция, определяемая условием:
.
Областью определения функции распределения является всё множество действительных чисел.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Свойства функции распределения:
1. |
F (x) – ограниченная функция: |
|
|
|
|
|
|
2. |
– неубывающая функция: |
(x |
x |
2 |
) (F (x ) F (x |
2 |
)) |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
3. |
Поведение на бесконечности определяется пределами: |
|
|
||||
4. |
непрерывна слева в любой точке. |
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Функцию распределения можно задавать и для дискретных
случайных величин с известным законом распределения:
Значение величины Х |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
… |
хп |
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
…. |
рп |
|
|
|
|
|
|
|
n
рi =1.
i =1
В этом случае график функции распределения
имеет разрывы первого рода в виде скачков:
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
1 
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Аналитически функция распределения дискретной случайной
величины задаётся по принципу «накопленных вероятностей»:
|
0, |
x x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p , |
x |
x x |
2 |
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p + p |
|
, x |
|
|
x x |
|
|
|||
F (x) = |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
p + p |
2 |
+ p |
3 |
, |
|
x x x |
4 |
|
||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||
.............................. |
|
|
|||||||||
|
1, |
x xn |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 1.
Для заданной дискретной случайной величины с известным
законом распределения:
Значение величины Х |
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
задать функцию распределения.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Используем принцип «накопления вероятностей»:
|
0, |
x −1 |
|
0, |
|
0,2, −1 x 0 |
|
0,2, |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
+ 0,2, 0 x 1 |
|
0,4, |
F (x) = |
0,2 |
+ 0,2 + 0,3, 1 x 2 |
. В итоге: F (x) = |
0,7, |
|
|
|||
|
1, |
х 2 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1
−1 x 0 0 x 1 1 x 2
х 2
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Функция распределения позволяет ответить на вопросы,
связанные принятием величиной определённого числового значения или попаданием значения величины в определённый числовой интервал:
1. P( X = x1) = 0 .
2. P(x1 X x2 ) = P(x1 X x2 ) =
|
= P(x1 X x2 ) = P(x1 X x2 ) = F (x2 ) − F (x1) . |
|
3. |
P( X x1 ) = F (x1 ) . |
|
|
||
4. |
P( X x1) =1 − P( X x1) =1 − F (x1) . |
|
|
|
|