2 курс / Анализ данных / ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Аналогично поступим и в случае T = (X Y 0).
Будем считать условие Y 0 выполненным:
(X ,Y ) |
X = −1 |
X = 0 |
X =1 |
X = 2 |
|
|
|
|
|
Y = −1 |
0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y = 0 |
0,1 |
0 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y =1 |
0,1 |
0,1 |
0 |
0,2 |
|
|
|
|
|
Тогда P(Y 0) = 0,1 + 0 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0 + 0,2 = 0,7 .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Заданное условие Y 0 не ограничивает возможных значений Х ,
для нового закона соответствующие вероятности
будем считать как условные:
Значения T = (X |
|
Y 0) |
|
−1 |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 + 0,1 |
0 + 0,1 |
0,1 + 0 |
|
0,1 + 0,2 |
|
||||||
вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,7 |
|
0,7 |
|
0,7 |
|
0,7 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь имеем:
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
P(X = −1 |
|
Y 0)= |
|
P(X = −1и Y 0) |
= |
|
P( X = −1,Y = 0) + P( X = −1,Y =1) |
= |
|||||
|
|||||||||||||
|
|
|
P(Y 0) |
|
|
|
|
P(Y 0) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
0,1 + 0,1 |
= |
0,2 |
= |
2 |
; |
|
|
||
|
|
|
0,7 |
0,7 |
7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P(X = 0 |
|
Y 0)= |
P(X = 0 и Y 0) |
= |
|
P( X = 0,Y = 0) + P( X = 0,Y =1) |
= |
||||||
|
|||||||||||||
|
|
P(Y 0) |
|
|
|
P(Y 0) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
0 + 0,1 |
= |
0,1 |
|
= |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
0,7 |
0,7 |
|
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
P(X =1 |
|
|
|
Y 0)= |
P(X =1и Y 0) |
= |
|
|
|
|
P( X =1,Y = 0) + P( X =1,Y =1) |
= |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P(Y 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(Y 0) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
0,1 + 0 |
= |
|
0,1 |
|
|
= |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0,7 |
0,7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P(X = 2 |
|
Y 0)= |
|
P(X = 2 и Y 0) |
= |
|
|
|
P( X = 2,Y = 0) + P( X = 2,Y =1) |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P(Y 0) |
|
|
|
|
|
P(Y 0) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
0,1 + 0,2 |
|
= |
0,3 |
|
= |
|
3 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
|
0,7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Таким образом, условный закон распределения T = (X Y 0) имеет вид:
Значения T = (X |
|
Y 0) |
−1 |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
||||
вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
7 |
|
7 |
|
7 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и условие pi =1 выполнено.
i
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 2.
Дано распределение двумерной дискретной случайной величины (X ,Y ):
(X ,Y ) |
X = −1 |
X = 0 |
X =1 |
X = 2 |
|
|
|
|
|
Y = −1 |
0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y = 0 |
0,1 |
0 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y =1 |
0,1 |
0,1 |
0 |
0,2 |
|
|
|
|
|
Составить условный закон распределения для величины Z = (Y Х = −1).
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Поступая как в предыдущем примере:
(X ,Y ) |
X = −1 |
X = 0 |
X =1 |
X = 2 |
|
|
|
|
|
Y = −1 |
0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y = 0 |
0,1 |
0 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y =1 |
0,1 |
0,1 |
0 |
0,2 |
|
|
|
|
|
без труда получаем соответствующее распределение:
Значения Z = (Y |
|
Х = −1) |
|
−1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
0,1 |
|
0,1 |
|
|
|
|||
вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,2 |
|
0,2 |
|
0,2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Значения, для которых возможная вероятность равна 0,
из закона распределения исключаем, поэтому в итоге будем иметь:
Значения Z = (Y |
|
Х = −1) |
0 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Новая величина имеет свои числовые характеристики –
математическое ожидание и дисперсию, которые легко вычислить:
|
|
1 |
|
1 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E(Y |
X = −1) = 0 |
+1 |
= 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D(Y |
X = −1) = 0 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
− |
|
= |
|
= 0,25 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Понятно, что при изменении условия изменится и распределение,
а значит – и числовые характеристики.
Поэтому условные математические ожидания и условные дисперсии ведут себя как случайные величины E(Y X ) и D(Y X ) соответственно,
у которых есть свои законы распределений.