2 курс / Анализ данных / ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Закон распределения величины X имеет вид:
Значения X |
X = x1 |
X = x2 |
… |
X = xn |
|
|
|
|
|
Вероятности pi |
p1 |
p2 |
|
pn |
Здесь
p1 = P(X = x1 )= p11 + p12 + ... + p1n ,
p2 = P(X = x2 )= p21 + p22 + ... + p2n ,
…,
pn = P(X = xn )= pn1 + pn2 + ... + pnn .
Необходимое условие на закон распределения выполнено:
n
pi =1
i=1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Аналогично для величины |
Y будем иметь: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Значения Y |
|
|
|
Y = y1 |
|
Y = y2 |
… |
Y = yk |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вероятности |
p' |
|
|
|
|
p' |
|
|
|
|
|
p' |
|
p' |
|
|||||||
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p' |
= P(Y = y |
)= p |
+ p |
21 |
+ ... + p |
n1 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p' |
= P(Y = y |
2 |
) |
= p |
|
+ p |
22 |
+ ... + p |
n2 |
, |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p' |
= P(Y = y |
k |
) |
= p |
|
+ p |
2k |
+ ... + p |
nk |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
k |
|
|
1k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Необходимое условие на закон распределения
k
и в этом случае выполнено: pk' =1 .
j =1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 1.
Известен закон распределения двумерной величины (X ,Y ):
|
X =10 |
X = 20 |
X = 30 |
X = 40 |
|
|
|
|
|
Y = 0 |
0 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y =1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
|
|
|
|
|
Найти E( X ) и D(Y ) .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Найдём закон распределения величины X :
Значения X |
10 |
20 |
30 |
40 |
|
|
|
|
|
Вероятности pi |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Здесь
p1 = P(X =10)= P( X =10,Y = 0) + P( X =10,Y =1) = 0 + 0,3 = 0,3,
p2 = P(X = 20)= P( X = 20,Y = 0) + P( X = 20,Y =1) = 0,2 + 0,2 = 0,4 ,
p3 |
= P(X = 30)= P( X = 30,Y = 0) + P( X = 30,Y =1) = 0,1 + 0,1 = 0,2 |
p4 |
= P(X = 40)= P( X = 40,Y = 0) + P( X = 40,Y =1) = 0,1 + 0 = 0,1. |
n
Необходимое условие на закон распределения pi =1 выполнено.
i =1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Зная закон распределения X ,
вычислим математическое ожидание E( X ) :
4
E( X ) = xi pi =10 0,3 + 20 0,4 + 30 0,2 + 40 0,1 = 21 .
i =1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Теперь найдём закон распределения величины Y :
|
|
Значения Y |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
Вероятности p j |
|
|
|
Здесь: |
|
|
|
||
p' |
= P(Y = 0)= P( X =10,Y = 0) + P( X = 20,Y = 0) + |
||||
1 |
|
|
|
|
|
+ P( X = 30,Y = 0) + P( X = 40,Y = 0) = 0 + 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4 |
|||||
p' |
= P(Y =1)= P( X =10,Y =1) + P( X = 20,Y =1) + |
||||
2 |
|
|
|
|
|
+ P( X = 30,Y =1) + P( X = 40,Y =1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0 = 0,6
k
Необходимое условие pk' =1 и в этом случае выполнено.
j =1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Теперь можно вычислить дисперсию D(Y ) :
D(Y ) = 02 0,4 +12 0,6 − (0 0,4 +1 0,6)2 = 0,6 − 0,36 = 0,24 .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если задан закон распределения двумерной величины (X ,Y ),
то можно составить закон распределения для любой величины,
полученной в результате арифметических действий с составляющими X и Y .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 2.
Известен закон распределения двумерной величины (X ,Y ):
|
X = 0 |
X =1 |
X = 3 |
X = 4 |
|
|
|
|
|
Y = −1 |
0,1 |
0 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y = 0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
Y =1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0 |
|
|
|
|
|
Составить закон распределения величины Z = X − Y и найти E(Z ) .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Найдём возможные значения разности Z = X − Y ,
это удобно выполнить, используя вспомогательную таблицу.
В нижней части каждой клетки сохраняем вероятности из заданного двумерного закона распределения,
в верхней части каждой клетки считаем разность,
соответствующую выбранным значениям X и Y (выделено цветом):