2 курс / Анализ данных / ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Двумерные случайные величины
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Часто приходится рассматривать испытания, результатом каждого возможного случая которого является пара, тройка или более значений.
В таких случаях определяется
многомерная случайная величина,
возможными значениями которой являются упорядоченные наборы чисел.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Многомерные случайные величины ещё принято называть векторами
и обозначать X = (X1, X 2 ..., X n ),
где X1, X 2 ,..., X n являются
одномерными случайными величинами и определяются как компоненты
многомерной случайной величины (вектора).
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Значения величины Х определяются множеством наборов вида (х1, х2 ,..., хп ),
где х1 – возможное значение величины Х1 ,
х2 – возможное значение величины Х 2 , …,
хп – возможное значение величины Х п .
Если все величины X1, X 2 ,..., X n
являются дискретными, то и многомерная случайная величина
X = (X1, X 2 ..., X n ) является дискретной.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Упорядоченная пара случайных величин (X |
1 |
, X |
2 |
), |
|
|
|
||
определенных на одном и том же |
|
|
|
|
пространстве элементарных событий , |
|
|
|
|
называется двумерной случайной величиной или системой случайных величин или двумерным случайным вектором.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пара чисел 
называется
возможным значением случайного вектора (X1, X 2 ),
если соответствует одному и тому же исходу в пространстве .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Двумерную случайную величину (X1, X 2 )
можно интерпретировать как случайный вектор на плоскости,
поэтому для неё чаще используют обозначение (X ,Y ) вместо (X1, X 2 ).
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Закон распределения
двумерной дискретной случайной величины (X ,Y )
задаётся таблицей вида:
|
X = x1 |
X = x2 |
… |
X = xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = y1 |
p11 |
p21 |
|
pп1 |
|
|
Y = y2 |
p12 |
p22 |
|
pп2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = yk |
p1k |
p2k |
|
pпk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Здесь pij = P(X = xi ,Y = y j )
для всех возможных значений i =1,2,..., n и j =1,2,..., k .
Необходимое условие на закон распределения
n k
должно быть выполнено: pij =1.
i =1 j =1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
При известном законе распределения двумерной величины (X ,Y )
можно составить законы распределений для величин X и Y .
Для этого необходимо указать возможные значения этих величин
и вычислить соответствующие этим значениям вероятности.