Абсолютные показатели вариации

Название показателя	Содержание
Размах вариации	Разность между максимальным и минимальным значениями признака
Среднее линейное отклонение	Средняя арифметическая величина из абсолютных значений отклонений отдельных значений признака от их средней величины
Дисперсия	Средняя арифметическая величина из квадратов отклонений значений признака от их средней величины
Среднее квадратическое отклонение	Корень квадратный из дисперсии (в современных пакетах прикладных программ данный показатель носит название «стандартное отклонение»)

Первые три показатели имеют те же единицы измерения, что и признак, у дисперсии квадратичная единица измерения. Формулы расчета показателей вариации приведены в табл. 3.8.

Для сравнения вариаций одного и того же показателя в разных совокупностях используют относительные показатели вариации: коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации (см. табл. 3.8).

Таблица 3.8

Формулы расчета абсолютных и относительных показателей вариации

Показатель	Формула расчета по несгруппированным данным	Формула расчета по сгруппированным данным
Размах вариации
Среднее линейное отклонение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)
Коэффициент осцилляции
Относительное линейное отклонение
Коэффициент вариации

С помощью коэффициента вариации можно охарактеризовать степень однородности совокупности. Значение Vσ > 33% говорит о том, что совокупность неоднородна, имеются аномальные, т.е. резко отличающиеся по своим количественным характеристикам наблюдения (в пакетах прикладных программ они носят название «выбросы»). Если предполагается дальнейший статистический анализ, например корреляционный, регрессионный и т.д., то такие аномальные наблюдения следует исключить из исходной совокупности, либо анализировать их отдельно. Иначе есть опасность получить незначимые модели и незначимые коэффициенты связи.

Пример 23. Имеются данные о величине коэффициента ликвидности у восьми предприятий: 1,5; 1,6; 1,8; 1,9; 2,1; 2,2; 2,2; 2,5. Рассчитаем абсолютные и относительные показатели вариации по приведенным несгруппированным данным.

Размах вариации: .

Среднее значение признака: .

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент осцилляции: .

Относительное линейное отклонение: .

Коэффициент вариации: .

Судя по коэффициенту вариации, совокупность по данному признаку можно считать однородной.

Пример 24. Имеются следующие данные.

Коэффициент ликвидности	Число предприятий	Середина интервала хi
До 1,5	5	1,4
1,5—1,7	7	1,6
1,7—1,9	4	1,8
1,9 и более	2	2,0
Итого	18	—

По приведенному вариационному ряду с неравными частотами рассчитаем абсолютные и относительные показатели вариации.

Размах вариации:

Среднее значение признака:

.

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент осцилляции: .

Относительное линейное отклонение: .

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации показывает, что совокупность по данному признаку однородна.

Дисперсию можно также рассчитать по следующей формуле:

,

где — средняя из квадратов индивидуальных значений признака;

— квадрат средней,

т.е. дисперсия равна разности между средним квадратом индивидуальных значений признака и квадратом их средней величины.

Пример 25. Определите величину средней, если дисперсия составила 224, а средний квадрат индивидуальных значений признака — 900:

_;

224 = 900 – _;

_.

Вариация альтернативного признака (признака, принимающего только два значения). Введем следующие обозначения:

т — количество единиц наблюдения, обладающих изучаемым признаком;

п — объем совокупности;

р — доля единиц, обладающих данным признаком:

.

Доля единиц, не обладающих данным признаком, может быть рассчитана как: . При этом имеет место равенство: .

Дисперсия альтернативного признака равна: .

Дисперсия альтернативного признака изменяется в пределах от 0 до 0,25. Максимального значения — 0,25 величина σ² достигает при р = 0,5.

Среднее квадратическое отклонение как корень из дисперсии вычисляется по формуле: .

Пример 26. Рассчитаем по данным примера 2 дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли предприятий, имеющих коэффициент ликвидности не выше 1,7:

; ;

.

На практике показатели вариации альтернативного признака в основном используются в выборочном наблюдении при построении доверительных интервалов для доли.

Если совокупность единиц наблюдения разделена по какому-либо признаку на некоторое количество групп, то становится возможным оценить степень зависимости вариации значений показателя, характеризующего единицы наблюдения, от признака, положенного в основу группировки. Для этих целей используются эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение (табл. 3.9).

Таблица 3.9