2 курс / Анализ данных / Домашнее творческое задание ч.2

Вариант № 4

Задание № 1.

Какова вероятность набрать правильный пароль при входе в

личный кабинет, если известно, что на первом и втором месте может стоять

любая четная цифра (цифры могут повторяться), а на третьем и четвертом

местах – одна из 8 гласных букв, причем они не могут совпадать?

Решение:

На первом и втором месте могут стоять цифры от 0 до 9 =» по 10 вариантов на двух местах (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9);

По условию дано, что гласных букв – 8 =» на третьем месте стоит одна из 8 букв, а на четвертом месте 1 из оставшихся 7 (так как не указано что возможно повторение);

10 * 10 * 8 * 7 = 5 600 – возможных варианта кода

Нам нужно узнать именно вероятность правильного пароля от сюда =»

1 / 5 600 = 0,000178571… = 0,0002 – если округляем

Ответ: 0,0002

Задание № 2.

Служащий банка может ездить на работу на трамвае или на

автобусе. В 1/4 случаев он пользуется трамваем, а в 3/4 – автобусом. Если

он едет на трамвае, то опаздывает с вероятностью 0,06, а если едет на

автобусе, то с вероятностью 0,01. Сегодня служащий опоздал. Какова

вероятность, что он ехал на трамвае?

Решение: А = {служащий банка опоздал};

Н1 = {служащий ехал на трамвае}; Н2 = {служащий ехал на автобусе};

По условию дано: Р(Н1) = ¼ = 0,25; Р(Н2) = ¾ = 0,75;

P(A|H1) = 0,06 – вероятность опоздания на трамвае;

P(A|H2) = 0,01 – вероятность опоздания на автобусе;

Считаем по формуле полной вероятности =»

P(A) = P(H1) * P(A|H1) + P(H2) * P(A|H2) = 0,25 * 0,06 + 0,75 * 0,01 = 0,015 + 0,0075 = 0,0225

Пусть собственная A нам уже известна, что служащий опоздал, но теперь нам нужно узнать вероятность того, что он ехал на трамвае. Считаем по формуле Байеса =»

P(H2|A) = P(H2) * P(A|H2) / P(A) = 0,75 * 0,01 / 0,0225 = 0,333… = 0,3 (при округлении) – искомая вероятность

Ответ: 0,3

Задание № 3.

Среди 6 Интернет-провайдеров в городе четыре предлагают

бесплатный пакет телевидения. Для подключения нового дома к Интернету

жилищная компания обзванивает Интернет-провайдеров в случайном

порядке, пока не найдет провайдера с бесплатным телевизионным пакетом.

Составить закон распределения случайной величины – числа

произведенных звонков. Найти ее математическое ожидание, дисперсию,

среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.

Решение: N = 6! = 720

Разобьём их на три группы: а) первая бесплатна; б) первая платна, вторая бесплатна; в) первые две платные, третья бесплатна.

=» в группе в) 4! * 2 = 48 вариантов размещения; в группе б) 2*4*4! = 192 вариантов размещения; в группе а) все остальные 480 вариантов.

=» Максимум с третьего звонка мы дозвонимся к провайдерам с бесплатными пакетами телевиденья, так что составим функцию распределения вероятности от числа звонков. Р = n/N

P(1) = 480/720 = 2/3 – Вероятность дозвониться сразу же;

P(2) = 192/720 = 4/15 – Вероятность дозвониться только со 2 раза;

P(3) = 1/15 – Вероятность дозвониться только со 3 раза.

Mатематическое ожидание = 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) = 1 * 2/3 + 2 * 4/15 + 3 * 1/15 = 7/5 = 1,4

Дисперсия = D = (1 – 1,4)² * P(1) + (2 – 1,4)² * P(2) + (3 – 1,4)² * P(3) = 0,16 * 2/3 + 0,36 * 4/15 + 2,56 * 1/15 = 8/75 + 12/125 + 64/375 = 28/75 = 0,373… = 0,37

Среднее квадратическое отклонение = √D = √0,37 = 0,6082… = 0,6

Задание № 4.

Случайная величина 𝑋 распределена по биномиальному закону с

параметрами 𝑛 = 8 и 𝑝 = 0,2. Найти:

а) 𝐸(2𝑋 − 5);

б) 𝐷(3 − 2𝑋);

в) 𝑃(|𝑋 − 𝐸(𝑋)| < 𝜎(𝑋)).

Решение:

X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Составим функцию распределения. Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли. =» P_n(k) = C_n^k * p^k * q^n-k ; q = 1 – p; C_n^k = n!/(k!(n-k)!).

P(0) = С₈ ⁰ * 0,2⁰ * 0,8⁸ = 1 * 1 * 0,168 = 0,168

P(1) = С₈ ¹ * 0,2¹ * 0,8⁷ = 8 * 0,2 * 0,210 = 0,336

P(2) = С₈ ² * 0,2² * 0,8⁶ = 28 * 0,04 * 0,262 = 0,293

P(3) = С₈ ³ * 0,2³ * 0,8⁵ = 56 * 0,008 * 0,328 = 0,147

P(4) = С₈ ⁴ * 0,2⁴ * 0,8⁴ = 70 * 0,0016 * 0,410 = 0,046

P(5) = С₈ ⁵ * 0,2⁵ * 0,8³ = 56 * 0,00032 * 0,512 = 0,009

P(6) = С₈ ⁶ * 0,2⁶ * 0,8² = 28 * 0,000064 * 0,64 = 0,001

P(7) = С₈ ⁸ * 0,2⁷ * 0,8¹ = 8 * 0,0000128 * 0,8 = 0,00008

P(8) = С₈ ⁸ * 0,2⁸ * 0,8⁰ = 1 * 0,00000256 * 1 = 0,000003

P(общая) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) = 0,168 + 0,336 + 0,293 + 0,147 + 0,046 + 0,009 + 0,001 + 0,00008 + 0,000003 = 0,999183 = 1

Математическое ожидание M(X) = E(X) = n * p = 8 * 0,2 = 1,6

Дисперсия D(X) = n * p * q = 8 * 0,2* 0,8 = 1,28

Среднее квадратическое отклонение = √D = √1,28 = 1,131

а) 𝐸(2𝑋 − 5) = 1,6 * (2 * 9 – 5) = 20,8

б) 𝐷(3 − 2𝑋) = 1,28 * (3 – 2 * 9) = - 19,2

в) 𝑃(|𝑋 − 𝐸(𝑋)| < 𝜎(𝑋)) = 1 * ( |9 – 1,6| < 1,131) = 7,4 < 1,131 - ложь

Задание № 7.

Диаметр выпускаемой детали является нормально

распределенной случайной величиной с математическим ожиданием а = 5см

и средним квадратическим отклонением 𝜎 =0,02см. Найти вероятность того,

что из двух проверенных деталей, диаметр хотя бы одной отклоняется от

математического ожидания не более, чем на 0,04см (по абсолютной

величине).

Решение: Вероятность того, что случайная величина Х отклонится от a на величину меньше q =» P(|X-a|<q) = 2Ф(q/σ)

По условию, а=5 см, σ=0,02 см, q=0,04 см. =»

Вероятность того, что d(диаметр) одной из проверяемых деталей отклонится от a на величину q, равна P(|X-5|<0,04) = 2Ф(0,04/0,02) = 2Ф(2)

=» вероятность того, что что d одной из проверяемых деталей отклонится от a на величину q =» 1-2Ф(2), а вероятность того, что это произойдёт для обеих деталей =» (1-2Ф(2))^2.

Следовательно, вероятность того, что из двух проверенных деталей d хотя бы одной отклонится от a не более чем q =»

1 - (1-2Ф(2))^2 = 1 – (12 * 0,4772)^2 = 0,9979

Ответ: 0,9979