2.2 Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Периодическая последовательность импульсов может быть представлена в виде

,

(2.10)

где – функция, описывающая отдельный импульс;

k=0; 1; … – целое число (номер импульса);

- начальный сдвиг импульсов;

= – фаза импульса с номером k;

T – период повторения импульсов.

Периодическая последовательность импульсов U(t) представлена на рис. 2.7. Представим ее в виде ряда Фурье

(2.11)

где – частота n-ой гармоники, имеем формулу для коэффициента ряда Фурье (комплексной амплитуды n-ой гармоники)

.

(2.12)

Рис. 2.7 – Периодическая последовательность импульсов

Рис. 2.8 – Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Для нахождения амплитудного спектра последовательности импульсов необходимо выражение (2.11) подставить в (2.2)

(2.13)

Так как , то окончательно спектр периодической последовательности импульсов принимает вид

(2.14)

Спектр изображен на рис 2.8. Спектр линейчатый, дискретный. Распределение спектральной плотности по частотам характеризуется сосредоточением ее у значений частот ±Fn, и плотность равна нулю при других значениях частоты.

Можно показать, что коэффициенты ряда

(2.15)

совпадают со значением спектральной плотности одиночного импульса на частоте F_n (с точностью до постоянного коэффициента

), где – модуль коэффициента .

Тогда спектр периодической последовательности импульсов (2.14) принимает вид

,

(2.16)

а его модуль равен

.

(2.17)

Для одностороннего амплитудного спектра (в области положительных частот)

.

(2.18)

Односторонний спектр периодической последовательности прямо­угольных импульсов с учетом (2.5) примет вид

(2.19)

Спектр последовательности представлен на рис. 2.8. Спектр линейчатый, спектральная плотность сосредоточена у значений час­тот и вписывается в спектральную плотность амплитуд одиночного импульса.

Рис. 2.9 иллюстрирует изменения в спектре сигнала при пере­ходе от одиночного импульса к бесконечной импульсной последовательности, спектр которой равен сумме спектров всех импульсов. Очевидно, все спектральные составляющие с частотами суммируются в фазе.

Рис. 2.9 – Изменения в спектре сигнала при переходе от одиночного импульса к бесконечной импульсной последовательности