8. Задан линейный блоковый (n,k)-код, где

n = 5 – количество символов в комбинации, в том числе: k = 2 - количество информационных символов,

r = n – k = 3 - количество проверочных символов.

2ⁿ – общее количество комбинаций;

2^k – количество разрешенных комбинаций.

Правила кодирования и декодирования определены проверочной матрицей

1	0	1	0	0
1	1	0	1	0
0	1	0	0	1

H =

00000 01001 010 10110 10110 S1+S3=0 S1+S2+S4=0

01011

10110

11101

Составить кодовую таблицу так, чтобы информационные символы занимали первые позиции в передаваемой комбинации (вектор-строка s) и выполнялось условие

c = sH^T = 0. Описать корректирующие способности данного кода. Описать математически процедуру декодирования, привести несколько примеров. Описать эту процедуру при помощи наглядного рисунка. Описать математически процедуру кодирования, привести несколько примеров.

Найти минимальное расстояние Хэмминга между кодовыми комбинациями.

01011 а=0 1+б+0=0 1+с=0 s1 s2 s3 s4 s5

00000 s1+s3=0 s3=s1

01011 s1+s2+s4=0 s4=s1+s2

10110 s2+s5=0 s5=s2

11101

11011

8. Для (n,k)-кода, способного исправить любую одиночную ошибку (t = 1), найти максимально-возможные значения n и k , если r = 2; 3; 4; 5; 6.

1 + n 4

r = 2 n = 3 (3,1)

r = 3 n = 7 (7,4)

r = 4 n = 15 (15,11)

r = 5 n = 31 (31,26)

8. Сделать то же, если код способен исправлять еще и все двукратные ошибки (t = 2); еще и все трехкратные ошибки (t = 3).

d = 5

– количество ситуаций с ошибками, где

нет ошибок N₀ = 1;

в комбинации есть одна ошибка N₁ = n;

в комбинации есть две ошибки ;

в комбинации есть m ошибок .

Количество возможных синдромов .

Каждой ситуации должен соответствовать свой уникальный синдром, иначе не удастся исправить все перечисленные ошибки. Отсюда следует , то есть _c

Это и есть неравенство Хэмминга.

(n,k) = ?

1 + n + n*(n-1)/2 <= 2^r 1+16+120

r =2 n=3

r =3 n=3

r =4 n=5 (5,1) 00000 11111

r =5 n= 7 (7,2)

r =6 n= 10 (10,4)

r =7 n= 15 (15,8)

r =8 n= 16 (16,8)

Определение: кодовое расстояние d_код – это минимальное расстояние Хэмминга между комбинациями в кодовой таблице.

Чем платим, увеличивая кодовое расстояние?

Что получаем взамен?

Кратность обнаруживаемых ошибок q_o = d-1

Кратность исправляемых ошибок t = (d-1)/2

Какие значения d_код обычно используются, если нет канала переспроса?

Чем интересен случай, когда неравенство Хэмминга обращается в равенство?

Такие коды называются совершенными, т.е. оптимальными.

Примеры: (3,1) – код с трехкратным повторением символа (d_код = 3, t = 1);

n = 2^r – 1 – все коды Хэмминга (d_код = 3, t = 1);

(90,78) – нет названия (d_код = 5, t = 2);

(23,12) – код Голея (d_код = 7, t = 3).

Для большинства популярных линейных блоковых кодов

n = 2^р – 1, где р – целое число.

8. Построить схемы кодера и декодера циклического кода, если r = 4. (15,11)

К

ТИ

К

М2

М2

М2