5.5. Компенсированные полупроводники

Часто в полупроводниках одновременно присутствуют и доноры и акцепторы в сопоставимых количествах. Такие полупроводники называются компенсированными.

Рассмотрим случай полной компенсации, когда N_d = N_a.

При T = 0 электроны занимают низшие состояния, каковыми в данном случае являются акцепторные уровни – электроны с донорных уровней переходят на акцепторные уровни.

При Т > 0 в зоне проводимости появляются электроны, активированные из валентной зоны (или с акцепторного уровня). Такой полупроводник (полностью компенсированный) ведет себя как собственный полупроводник.

В случае, когда N_d > N_a, при Т = 0 все акцепторные уровни заняты электронами и поэтому они не могут принимать электроны из валентной зоны.

В этом случае, однако, часть состояний N_d–N_a донорных уровней остается занятой электронами. Последние при Т > 0 активируются так же, как активируются электроны в донорном полупроводнике. Такой полупроводник ведет себя как полупроводник n-типа с концентрацией доноров, равной разности N_d – N_a.

В случае, когда N_a > N_d, полупроводник ведет себя так же, как акцепторный полупроводник с концентрацией акцепторов (N_a – N_d).

На самом же деле, при низких температурах все-таки существуют некоторые отличия в положении уровня Ферми и в концентрациях носителей по сравнению с некомпенсированными полупроводниками.

6. Статистика электронов в металлах

Электроны в металлах, как известно, заполняют верхнюю зону только частично. При температуре Т = 0 К электроны занимают все нижние состояния зоны проводимости (по одному на состояние). Верхним уровнем является уровень Ферми. Зададимся вопросом: чему равна энергия уровня Ферми при Т = 0 К? Для ответа на него запишем формулу для общего числа электронов (концентрации) в виде:

так как при Т = 0 К в пределах интегрирования (E_c E E_F) функция .

В металлах функция плотности состояний g(E) имеет вид

(2)

почти по всей зоне проводимости, а m_n ≈ m_e (m_e – масса свободного электрона). Пусть E_c = 0, тогда (2) перепишется в виде

. (2’)

Подставив (2’) в (1), после взятия интеграла получим

. (3)

Откуда для энергии Ферми будем иметь

. (4)

Зная E_F – максимальную энергию электронов в металле при T = 0 K, можно вычислить максимальную скорость электрона v_max, исходя из формулы для кинетической энергии электрона :

. (5)

Эта скорость v_max ≈ 10⁶ м/с (!) (И это при 0 К!). Как уже было сказано ранее, при 0 К. Состояние электронного газа при таком условии называется вырожденным. Вообще состояние электронного газа любого материала (не только металлов, но и полупроводников) с является вырожденным.

При T > 0 К электроны с уровней в интервале энергии ~ kT около уровня Ферми переходят на более высокие уровни. Так как условие kT << E_F выполняется всегда (при T_комн величина kT ≈ 0,025эВ, а E_F ≈ 5эВ), энергия изменяется только у небольшой части электронов вблизи Е_F. Положение уровня Ферми при T > 0 K найдем из условия неизменности концентрации от температуры:

Этот интеграл, к сожалению, не может быть представлен в виде аналитической функции. Приближенно из него получается, что

где E_F(0) – энергия Ферми при Т = 0 К.

Согласно (7) энергия Ферми очень слабо зависит от температуры, Так, например, при комнатной температуре изменение E_F составляет всего ≈10^-3 %. Согласно (7) уровень Ферми несколько понижается с температурой, Это происходит потому, что плотность состояний g(E) увеличивается с E.

Полученные выражения справедливы для одновалентных металлов, у которых валентные электроны заполняют лишь одну энергетическую зону. В многовалентных металлах (когда валентные электроны заполняют две и более зоны) ситуация сложнее. Однако и там электронный газ является вырожденным и его состояние очень слабо меняется с температурой.