5. Статистика электронов в примесных полупроводниках

В примесных полупроводниках электроны могут переходить в зону проводимости не только из валентной зоны, но и с донорных уровней. Дырки же могут возникать при переходе электронов из валентной зоны на акцепторные уровни.

Получим выражение для концентрации электронов на примесном уровне E_пр, считая, что примесь только одного сорта:

где N_пр – концентрация примесных атомов с энергией E_пр, g – величина, связанная со степенью вырождения уровня E_пр. Для доноров , а для акцепторов g =2.

5.1. Донорный полупроводник

Будем рассматривать полупроводники с малой концентрацией примеси, которые при комнатной температуре являются невырожденными полупроводниками.

Рассмотрим сначала низкие температуры.

Если в полупроводник введена донорная примесь с концентрацией N_d и с малой энергией ионизации E_иd, то при низких температурах число электронов, попавших в зону проводимости с донорных уровней, будет значительно превышать число электронов, возбужденных из валентной зоны. В этом случае переходами из валентной зоны можно будет пренебречь. Так сейчас и поступим. Тогда число электронов в зоне проводимости n будет равно числу ионизированных доноров, то есть числу свободных мест на донорных уровнях N_d⁺ :

Для невырожденного полупроводника для n имеем:

а число свободных мест на донорных уровнях N_d⁺ согласно (1) с учетом того, что теперь N_пр= N_d, а Е_пр=Е_d, равно:

Приравняв n согласно (3) и N_d⁺ согласно (4), получим:

Рассмотрим область очень низких температур, когда E_F–E_d >> kT. В этом случае единицей в знаменателе правой части уравнения (5) можно пренебречь и тогда формула (5) перепишется

откуда

При T → 0 E_F → (E_c+E_d)/2, то есть уровень Ферми стремится к середине между дном зоны проводимости Е_с и уровнем E_d. Заметим, что при T → 0, N_d⁺ → 0, как это видно из (4), то есть доноры (как это и должно быть при абсолютном нуле температуры) не ионизированы.

При повышении температуры от 0 К, согласно (6) уровень Ферми сначала поднимается, так как при низких температурах знаменатель дроби под логарифмом меньше числителя. Поэтому второй член в (6) больше нуля (во первых) и увеличивается с увеличением температуры T (во вторых). Однако при дальнейшем повышении температуры, уровень Ферми, достигнув максимума, начинает понижаться (принимаем это без доказательства) и при некоторой температуре T = T_s пересекает донорный уровень E_d. Но при T ≈ T_s пользоваться уравнением (6) уже нельзя, так как оно было получено при условиях E_F–E_d >> kT или N_d⁺ << N_d, которые теперь не выполняются. Действительно, из (4) следует, что при совпадении уровня Ферми с уровнем E_d мы имеем N_d⁺ = N_d/3. В этом случае величину E_F следует определять из более общего уравнения (5).

Найдем температуру T_s из условий: E_F = E_d и N_d⁺ = N_d/3:

. (7)

Отсюда, учитывая, что E_c – E_d = E_ud, получаем

. (8)

Температура T_s называется температурой истощения примеси. Из этого выражения видно, что, чем больше E_ud, тем выше T_s. Температура истощения примеси зависит также и от N_d. А именно, чем больше N_d, тем больше T_s. Физическая причина этого заключается в том, что, чем больше концентрация донорной примеси N_d, тем больше вероятность захвата (возврата) электронов из зоны проводимости на донорные уровни и чтобы достичь истощения примеси при б льших N_d, необходимо поднимать температуру до более высоких значений.

Обычно температура истощения примеси невелика. Так, для примеси в германии E_ud =0,01 эВ и N_d =10¹⁶ см^-3, T_s = 30 К.

Теперь получим концентрацию электронов в зоне проводимости при очень низких температурах. Для этого выражение для E_F (уравнение 6) подставим в уравнение (3) ( ):

. (9)

Прологарифмировав (9), получим:

Зависимость (логарифмическая) первого слагаемого в выражении (10) от температуры гораздо более слабая, чем второго, поэтому зависимость ln n от 1/T в области низких температур приблизительно линейная с угловым коэффициентом .

Рассмотрим теперь область истощения примеси (T ~ T_S). При небольшом превышении температуры над T_S практически все электроны переходят с донорных уровней в зону проводимости (в этом случае f_пр(E_пр)=0 и N_d⁺ = N_d). Тогда

При этом, поскольку N_d не зависит от температуры, концентрация электронов n тоже является температурной константой (см. рисунок: плато на зависимости ).

Найдем энергию Ферми в этой области температур из условия (11):

. (12)

Она равна

Величина N_c (число состояний зоны проводимости), увеличивается с повышением температуры, и уже при T = T_S, N_c > N_d. Поэтому слагаемое в (13) имеет отрицательный знак и увеличивается по модулю с повышением температуры, а уровень Ферми понижается.

Рассмотрим область собственной проводимости. При высоких температурах в концентрацию электронов будут вносить заметный вклад электроны, возбуждаемые из валентной зоны. Концентрация электронов снова начнет расти (область 3 на рисунке) и, в конце концов, станет практически равной концентрации n_i в собственном полупроводнике (см. графики зависимостей lnn от 1/T и E_F от Т). За температуру перехода к собственной проводимости T_i принимают температуру, при которой n_i совпадает с концентрацией электронов в донорном полупроводнике в области истощения N_d:

откуда, согласно

получаем:

.

Отсюда

Согласно (15), чем шире запрещенная зона E_g и чем больше N_d, тем выше T_i. При N_d=10¹⁶ см^-3 в германии T_i =480K. Значение T_i определяет предельную температуру работы большинства полупроводниковых приборов.