3. Концентрация электронов и дырок в полупроводнике

3.1. Концентрация электронов в полупроводнике

Концентрация электронов равна:

(11)

Е_пот – энергия потолка зоны проводимости. Интегрирование в (11) производится по зоне проводимости. В полупроводнике интегрирование можно распространить до бесконечности (∞), так как при E>E_F с ростом энергии функция f(E) быстро спадает, а g(E), хоть и растет, но растет очень медленно. Тогда концентрация электронов будет равна:

Если уровень Ферми расположен глубоко в запрещенной зоне, то (E–E_F) >> kT и электронный газ зоны проводимости будет невырожденным (f(E)=C·exp(–E/kT)). В этом случае и сам полупроводник называется невырожденным.

Полная функция распределения электронов по энергиям невырожденного газа примет вид:

. (13)

Из (13) следует, что распределение частиц по энергиям ~ . Оно зависит от температуры газа. Для невырожденного газа функция B(E) достигает максимума при E = kT/2 и быстро спадает при E > kT.

Проинтегрируем , где B(E) возьмем в виде ур. (13) для невырожденного полупроводника, и получим:

(14)

где коэффициент пропорциональности

₍₁₅₎

называется эффективным числом или плотностью состояний, приведенных ко дну зоны проводимости, или, иначе, числом состояний зоны проводимости.

Для невырожденного полупроводника величина E_c–E_F положительная. Поэтому, чем ниже уровень Ферми (то есть, чем меньше E_F), тем меньше электронов в зоне проводимости.

3.2. Концентрация дырок в полупроводнике

Вероятность того, что состояние с энергией E не занято электроном, а, следовательно, занято дыркой, равна:

Газ дырок валентной зоны будет невырожденным, если (E_F – E) >> kT. Тогда

где .

Из (18) видно, что вероятность заполнения (заселенность) состояний валентной зоны дырками убывает экспоненциально вглубь валентной зоны (при движении вдоль оси энергии влево). Полное число дырок (концентрация дырок) p получим, проинтегрировав f_p(E)g(E)dE по энергии:

где – называется числом состояний валентной зоны.

Если условие невырожденности того или иного газа не выполняется, то вычисление интегралов типа (12) и (19) для концентрации частиц проводят численным методом.

4. Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных полупроводниках

Положение уровня Ферми в собственных полупроводниках можно найти из условия равенства количества электронов в зоне проводимости n_i количеству дырок в валентной зоне p_i:

где индекс i – обозначает принадлежность к собственному полупроводнику.

Приравняв n (формула (14)) к p (формула (19)), будем иметь:

E_Fi – энергия уровня Ферми в собственном полупроводнике.

Отсюда, используя соотношение E_Fi – E_V = E_g – (E_c – E_Fi), получим

или

За счет того, что m_p ≠ m_n, уровень Ферми несколько сдвинут относительно середины запрещенной зоны. Если бы массы дырки и электрона были равны: m_p = m_n, то уровень Ферми был бы расположен точно посередине запрещенной зоны. Как видно из (21), при T = 0 он, действительно, расположен посередине запрещенной зоны. Если T > 0, то при m_p > m_n логарифм ln – отрицательная величина и уровень Ферми сдвигается вверх, а при m_n > m_p логарифм ln – положительная величина и уровень Ферми сдвигается вниз. Поскольку, как правило, разница между m_p и m_n небольшая, то этим сдвигом как правило пренебрегают. Тогда

E_c – E_Fi = E_Fi – E_V = E_g/2.

Получим концентрацию свободных носителей в собственном полупроводнике:

Отсюда видно, что концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны E_g и температурой. Причем зависимость n_i (или p_i) от температуры очень резкая. Так, для германия с E_g = 0,66 эВ, увеличение температуры от 100 до 600 К приводит к повышению n_i на 17 порядков.

Прологарифмировав (22), получим:

Так как зависит от температуры гораздо слабее, чем 1/T, график зависимотсти lnn_i от 1/T представляет собой приблизительно прямую линию с угловым коэффициентом – E_g/2k.