1. Функция распределения в статистике Ферми-Дирака:

Пусть dN – число частиц в интервале энергий dЕ, тогда:

(1)

полная функция распределения.

Введем в рассмотрение еще две функции:

Функцию плотности состояний

где dZ – число состояний, приходящихся на интервал энергий dE, и

Функцию распределения

имеющую смысл вероятности заполнения состояний.

Тогда с учетом (1) получим связь между B(E), g(E) и f(E):

Для фермионов – частиц с полуцелым спином, в том числе электронов, функция распределения f(E) имеет вид:

(2)

и называется функцией Ферми-Дирака. В формуле (2) – химический потенциал системы, называемый иначе уровнем или энергией Ферми.

При Т=0: f(E)=1 для E<E_F и f(E)=0 для E>E_F:

Это означает, что при Т = 0 все состояния с E<E_F заняты электронами, а состояния с E > E_Fсвободны. Другими словами, при Т = 0 электроны занимают все наинизшие энергетические уровни в интервале от 0 до E_F_.

При Т > 0 из выражения (1) для значения энергии, равной энергии Ферми (E = E_F), имеем . Таким образом, при температуре, отличной от абсолютно нуля, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни, и характер их распределения по состояниям меняется. Тепловому возбуждению подвергаются электроны лишь узкой полосы kT у уровня Ферми, а электроны более глубоких уровней остаются практически незатронутыми, так как энергии kT теплового движения недостаточно для их возбуждения. За счет такого возбуждения часть электронов с энергией, меньшей E_F, переходит на уровни с энергией, большей E_F. В результате устанавливается новое распределение частиц по состояниям:

Повышение температуры вызывает размытие распределения на глубину  kT как с той, так и с другой стороны от энергии E_F и появление «хвоста» распределения справа от E_F. Чем выше температура, тем больше kT и тем более существенные изменения происходят в функции распределения.

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией , выражение для f(E) принимает вид:

где . Эта функция совпадает с функцией распределения Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам (статистике Больцмана).

Определение: Если электроны подчиняются статистике Больцмана, то их состояния называются невырожденным электронным газом. Характерной особенностью невырожденного электронного газа является то, что .

2. Функция плотности состояний

Функция плотности состояний обычно рассчитывается, исходя из упрощенного представления о том, что энергия в кристалле зависит только от модуля волнового вектора . Эти расчеты дают для