4.3. Стационарное распределение неравновесных носителей за слоем генерации
О
пределим
теперь стационарное
распределение (то есть в случае, когда
)
неравновесных носителей за слоем, в
котором непрерывно идет генерация
электронно-дырочных пар (начало координаты
x
– на границе этого слоя).
Уравнение непрерывности для электронов будет (g=0 при x>0):
0 = 0
(19)
Здесь: первое
слагаемое в правой части «0» – скорость
генерации;
– скорость рекомбинации,
– дивергенция от
,
τ – время
жизни неравновесных носителей. Из
(19) получаем:
.
(19а)
Решением уравнения (19а) является:
, (20)
где
называется диффузионной
длиной
(глубиной проникновения неравновесных
носителей). Она соответствует уменьшению
в е
раз.
4.4. Максвелловское время релаксации
Вычислим время компенсации объемного заряда носителей, инжектированных в полупроводник. При этом пренебрежем рекомбинацией. Уравнения непрерывности в данном случае (для одномерного случая) примут вид:
, (22)
. (22а)
Вычтем из уравнения (22) уравнение (22а) и результат умножим на e. Тогда мы получим
,
(23)
где
– есть плотность объемного заряда
неравновесных носителей.
Плотность объемного
заряда неравновесных носителей
намного превышает плотность стационарных
объемных зарядов. Поэтому создаваемое
объемным зарядом неравновесных носителей
электрическое поле велико, и можно
считать, что токи,
в основном, дрейфовые.
Тогда можно записать:
(24)
Если уровень
инжекции мал:
и
.
(24а)
Тогда, дифференцируя (24а) по х, получим
. (25)
Вспомним уравнение Пуассона (для одномерного случая)
(26)
и с учетом (26) и (25) перепишем уравнение (23) в виде:
. (27)
Решение этого уравнения имеет следующий вид:
,
(28)
где
– начальная плотность объемного заряда,
– так называемое
максвелловское
время релаксации.
Для кремния (Si)
даже со сравнительно низкой
время
с (!). То есть,
время
очень
мало. Это
оправдывает сделанное в начале наших
выкладок допущение о пренебрежении
процессом рекомбинации.
Отметим, что эта релаксация происходит за счет токов основных носителей (вне зависимости от того, инжекцию каких носителей – основных или неосновных мы производим), потому что определяется основными носителями (!). Когда инжектируются неосновные носители, к ним подтягиваются основные и компенсируют их заряд. Когда же инжектируются основные носители, то происходит рассасывание – перераспределение их по объему полупроводника.
В первом случае
через время
повышенная концентрация неосновных
носителей сохраняется, но к ним
подтягиваются из глубины полупроводника
(или из внешней цепи) основные носители
и
.
Во втором случае основные неравновесные
носители распределяются равномерно по
всему объему (или уходят во внешнюю
цепь) и
.