Диффузия и дрейф неравновесных носителей
4.1. Введение
В полупроводниках электронный и дырочный токи возникают из-за двух причин:
1) дрейфа в электрическом поле и 2) диффузии.
Плотность дрейфовых токов равна:
,
, (9)
а плотность диффузионных токов равна:
,
,
(10)
где
и
–
коэффициенты диффузии электронов и
дырок, соответственно. Знаки перед
учитывают то, что вектор
направлен в сторону уменьшения
концентрации, а вектор
– в сторону ее увеличения.
Полные токи определяются суммой:
+
,
+
. (11)
Для невырожденных газов носителей заряда коэффициент диффузии D и подвижность u связаны соотношением Эйнштейна:
. (12)
Из (12) следует, что, если подвижности электронов и дырок отличаются (в германии и кремнии – в два раза), то отличаются и коэффициенты диффузии.
4.2. Эффективный коэффициент диффузии
Электрическое
поле
в кристалле может создаваться не только
сторонними силами, но и возникать из-за
нарушения электронейтральности
полупроводника (из-за генерации, вызванной
облучением, например).
П
усть
на поверхность полупроводника падает
свет с энергией кванта
.
Такой свет поглощается образцом и в нем
генерируются электронно-дырочные пары,
являющиеся неравновесными носителями.
За счет хаотического движения и наличия
градиента концентрации носителей
возникает их диффузия вглубь полупроводника,
а по пути и рекомбинация. Если не
учитывать, что электроны и дырки заряжены,
то зависимости
и
будут спадать по экспоненциальному
(это будет показано позже) закону с
разной скоростью затухания из-за разных
коэффициентов диффузии (
),
как показано на рисунке.
На самом деле,
однако такого распределения не будет,
благодаря тому, что электроны и дырки
заряжены.
Поэтому возникнут объемные заряды (там,
где больше дырок, там возникнет
положительный заряд, а там, где больше
электронов – отрицательный) и появится
электрическое поле.
Это
поле вызовет дрейф носителей, который
будет стремиться уничтожить объемные
заряды и, следовательно, выровнять
и
.
В результате
неравновесные носители распределятся
так, как если бы они диффундировали с
одинаковым коэффициентом диффузии,
который называется эффективным
коэффициентом диффузии
Найдем этот коэффициент диффузии.
Если полупроводник не включен в электрическую цепь, то в стационарных условиях в любом месте полупроводника ток будет отсутствовать:
(13)
Перепишем (13) с учетом (9) и (10) и того, что диффузия и дрейф происходят только в одном направлении – направлении x:
(14)
где
– напряженность «встроенного»
электрического поля.
Заменим
и
на
и
и примем, кроме того, что
.
Тогда поле
будет равно
.
(15)
Теперь с учетом
этого ток электронов
запишется в виде:
.
(16)
Формально это
выражение можно рассматривать как чисто
диффузионный
ток, если
множитель перед производной
принять за эффективный коэффициент
диффузии неравновесных носителей
(электронов):
,
(17)
то есть,
.
То же самое выражение
для
получится и для неравновесных дырок.
Это доказывает, что полученный параметр
и есть искомый эффективный коэффициент
диффузии, одинаковый для электронов и
для дырок.
Заменим в (17)
подвижности
и
на коэффициенты диффузии
и
по соотношению Эйнштейна и получим
(после деления на
):
. (18)
В частном случае собственного полупроводника (когда n=p) мы будем иметь:
,
то есть, – является промежуточным между и .
В n-полупроводниках,
когда
,
,
а в p-полупроводниках,
когда
,
Таким образом, мы видим, что эффективный
коэффициент диффузии равен коэффициенту
диффузии неосновных
носителей заряда.