5.Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных полупроводниках

П оложение уровня Ферми в собственных полупроводниках можно найти из условия равенства количества электронов в зоне проводимости n_i количеству дырок в валентной зоне p_i:

где индекс i – обозначает принадлежность к собственному полупроводнику.

Приравняв n (формула (14)) к p (формула (19)), будем иметь:

Отсюда, используя соотношение E_Fi – E_V = E_g – (E_c – E_Fi),

или

За счет того, что m_p ≠ m_n, уровень Ферми несколько сдвинут относительно середины запрещенной зоны. Если бы массы дырки и электрона были равны: m_p = m_n, то уровень Ферми был бы расположен точно посередине запрещенной зоны. Как видно из (21), при T=0 он, действительно, расположен посередине запрещенной зоны. Если T > 0, то при m_p > m_n уровень Ферми сдвигается вверх, а при m_n > m_p – вниз. Поскольку, как правило, разница между m_p и m_n небольшая, то этим сдвигом часто пренебрегают. Тогда E_c – E_Fi = E_Fi – E_V = E_g/2.

Получим концентрацию свободных носителей в собственном полупроводнике:

О тсюда видно, что концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны E_g и температурой. Причем зависимость n_i (или p_i) от температуры очень резкая. Так, для гермения с E_g = 0,66 эВ, увеличение температуры от 100 до 600 К приводит к повышению n_i на 17 порядков (!).

П рологарифмировав получим:

Так как зависит от температуры гораздо слабее, чем 1/T, график зависимотсти lnn_i от 1/T представляет собой приблизительно прямую линию с угловым коэффициентом – E_g/2k.

8. Статистика электронов в металлах

Электроны в металлах, как известно, заполняют верхнюю зону только частично. При температуре Т = 0 К электроны занимают все нижние состояния зоны проводимости (по одному на состояние). Верхним уровнем является уровень Ферми. Чему же равна энергия уровня Ферми при Т = 0 К? Для ответа на этот вопрос запишем формулу для общего числа электронов (концентрации) в виде:

так как при Т = 0 К в пределах интегрирования (E_c E E_F) функция .

В металлах функция плотности состояний g(E) имеет вид:

почти по всей зоне проводимости, а m_n ≈ m_e (m_e – масса свободного электрона). Пусть E_c = 0, тогда

после взятия интеграла получим

Откуда для энергии Ферми будем иметь

Зная E_F – максимальную энергию электронов в металле при T = 0 K, можно вычислить также максимальную скорость электрона v_max, исходя из формулы для кинетической энергии электрона :

Эта скорость v_max ≈ 10⁶ м/с (!) (И это при 0 К!). Как уже было сказано ранее, при 0 К. Состояние электронного газа при таком условии называется вырожденным. Вообще состояние электронного газа любого материала (не только металлов, но и полупроводников) с является вырожденным.

При T > 0 К электроны с уровней в интервале энергии ~ kT около уровня Ферми переходят на более высокие уровни. Так как условие kT << E_F выполняется всегда (при T_комн величина kT ≈ 0,025эВ, а E_F ≈ 5эВ), энергия изменяется только у небольшой части электронов вблизи Е_F. Положение уровня Ферми при T > 0 K найдем из условия неизменности концентрации от температуры:

Этот интеграл, к сожалению, не может быть представлен в виде аналитической функции. Приближенно из него получается, что

г де E_F(0) – энергия Ферми при Т = 0 К.

Согласно (7) энергия Ферми очень слабо зависит от температуры, Так, например, при комнатной температуре изменение E_F составляет всего ≈10^-3 %. Уровень Ферми несколько понижается с температурой, так как плотность состояний g(E) увеличивается с E.

Полученные выражения справедливы для одновалентных металлов, у которых валентные электроны заполняют лишь одну энергетическую зону.