3.Функция распределения в статистике Ферми-Дирака, функция плотности состояний

Введем в рассмотрение еще две функции:

функцию плотности состояния где dZ – число состояний, приходящихся на интервал энергий dE

функцию распределения , имеющую смысл вероятности заполнения состояний.

Тогда с учетом (1) получим связь между B(E), g(E) и f(E): .

Функция распределения f(E) для фермионов – частиц с полуцелым спином (например, электронов) имеет вид:

и называется функцией Ферми-Дирака. В формуле – химический потенциал системы, называемый иначе уровнем или энергией Ферми.

При Т=0: f(E)=1 для E<E_F и f(E)=0 для E>E_F.

Это означает, что при Т = 0 все состояния с E<E_F заняты электронами, а состояния с E > E_F свободны. Другими словами, при Т = 0 электроны занимают все наинизшие энергетические уровни в интервале от 0 до E_F.

При Т > 0 из выражения (1) для значения энергии, равной энергии Ферми (E = E_F), имеем . Таким образом, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютно нуля, равна 1/2.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни, и характер их распределения по состояниям меняется. Тепловому возбуждению подвергаются электроны лишь узкой полосы kT у уровня Ферми, а электроны более глубоких уровней остаются практически незатронутыми, так как энергии kT теплового движения недостаточно для их возбуждения. За счет такого возбуждения часть электронов с энергией, меньшей E_F, переходит на уровни с энергией, большей E_F. В результате устанавливается новое распределение частиц по состояниям:

Повышение температуры вызывает размытие распределения на глубину  kT как с той, так и с другой стороны от энергии E_F и появление «хвоста» распределения справа от E_F. Чем выше температура, тем больше kT и тем более существенные изменения происходят в функции распределения.

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией , выражение для f(E) принимает вид: , где . Эта функция совпадает с функцией распределения Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам (статистике Больцмана).

Определение: Если электроны подчиняются статистике Больцмана, то их состояния называются невырожденным электронным газом. При этом .

2. Функция плотности состояний плотности состояний обычно рассчитывается, исходя из упрощенного представления о том, что энергия в кристалле зависит только от модуля волнового вектора . Эти расчеты дают для

в зоне проводимости: , где – масса электрона у дна зоны проводимости, V – объем кристалла, ,

в валентной зоне: , где – масса дырки у потолка валентной зоны, .

4. Концентрация электронов и дырок в полупроводнике

Концентрация электронов равна

Интегрирование в производится по зоне проводимости. В полупроводнике интегрирование можно распространить до бесконечности (∞), так как при E>E_F функция f(E) быстро спадает с ростом энергии, а g(E), хоть и растет, но растет очень медленно. Тогда концентрация электронов будет равна:

Если уровень Ферми расположен глубоко в запрещенной зоне, то (E–E_F) >> kT и электронный газ зоны проводимости будет невырожденным (f(E)=C·exp(–E/kT)). В этом случае и сам полупроводник называется невырожденным.

Полная функция распределения электронов по энергиям невырожденного газа примет вид:

Следует, что распределение частиц по энергиям ~ . Оно зависит от температуры газа. Для невырожденного газа B(E) достигает максимума при E = kT/2 и быстро спадает при E > kT.

Проинтегрируем , где B(E) возьмем в виде ур. (13) для невырожденного полупроводника, и получим:

где коэффициент пропорциональности

называется эффективным числом или плотностью состояний, приведенных ко дну зоны проводимости, или, иначе, числом состояний зоны проводимости.

Поэтому, чем ниже уровень Ферми (то есть, чем меньше E_F), тем меньше электронов в зоне проводимости.

Концентрация дырок в полупроводнике

В ероятность того, что состояние с энергией E не занято электроном, равна: Газ дырок валентной зоны будет невырожденным, если (E_F – E) >> kT. Тогда

г де . вероятность заполнения (заселенность) состояний валентной зоны дырками убывает экспоненциально вглубь валентной зоны. Полное число дырок (концентрация дырок) p получим, проинтегрировав f_p(E)g(E)dE по энергии:

г де – называется числом состояний валентной зоны.