6.Статистика электронов в примесных полупроводниках: Донорный полупроводник

Получим выражение для концентрации электронов на примесном уровне E_пр, считая, что примесь одного сорта:

где N_пр – концентрация примесных атомов с энергией E_пр, g – величина, связанная со степенью вырождения уровня E_пр. Для доноров , а для акцепторов g =2.

Будем рассматривать полупроводники с малой концентрацией примеси, которые при комнатной температуре являются невырожденными полупроводниками. Рассмотрим сначала низкие температуры.

Е сли в полупроводник введена донорная примесь с малой энергией ионизации E_иd, то при низких температурах число электронов, попавших в зону проводимости с донорных уровней, будет значительно превышать число электронов, возбужденных из валентной зоны. В этом случае переходами из валентной зоны можно пренебречь. Тогда число электронов в зоне проводимости n будет равно числу свободных мест на донорных уровнях N_d⁺ :

Д ля невырожденного полупроводника для n имеем:

а число свободных мест на донорных уровнях N_d⁺ с учетом того, что теперь N_пр= N_d, а Е_пр=Е_d, равно:

Приравняв n согласно (3) и N_d⁺ согласно (4), получим:

Р ассмотрим область очень низких температур, когда E_F–E_d >> kT. В этом случае единицей в знаменателе правой части уравнения (5) можно пренебречь и тогда (5) перепишется

откуда

При T → 0 E_F → (E_c+E_d)/2, то есть уровень Ферми стремится к середине между дном зоны проводимости Е_с и уровнем E_d. Заметим, что при T → 0, N_d⁺ → 0, как это видно из (4), то есть доноры (как это и должно быть при абсолютном нуле температуры!) не ионизированы.

Однако при дальнейшем повышении температуры, уровень Ферми, достигнув максимума, начинает понижаться и при некоторой температуре T = T_s пересекает уровень E_d. Но при T ≈ T_s пользоваться уравнением (6) уже нельзя, так как оно было получено при условиях E_F–E_d >> kT или N_d⁺ << N_d, которые теперь не выполняются. Действительно, из (4) следует, что при совпадении уровня Ферми с уровнем E_d мы имеем N_d⁺ = N_d/3. В этом случае величину E_F следует определять из более общего уравнения (5). Найдем температуру T_s из условия: E_F = E_d: Отсюда, учитывая, что E_c – E_d = E_ud, получаем

7. Статистика электронов в примесных полупроводниках: Акцепторный полупроводник

Формулы для энергии Ферми и концентрации носителей в полупроводниках p-типа получают аналогично. Они имеют тот же вид, что и для донорных полупроводников, если сделать замену N_c → N_v, E_ud → E_ua, E_c–E_F → E_F–E_v. Зависимость E_F(T), будет выглядеть следующим образом:

Зависимость lnp=f(1/T) совершенно аналогична кривой lnn=f(1/T) для донорного полупроводника.

Закон действующих масс

Как для собственных, так и для примесных невырожденных полупроводников произведение концентраций электронов и дырок есть постоянная величина, не зависящая от степени легирования:

Формула называется законом действующих масс. Произведение концентрации электронов и дырок в полупроводнике не зависит от степени его легирования (N_d или N_а), а зависит только от температуры. Оно равно квадрату в собственном полупроводнике.

Из закона действующих масс следует, что в примесных полупроводниках в области примесной проводимости концентрация неосновных носителей (дырок – в донорном полупроводнике) оказывается намного меньше, чем в собственном полупроводнике. Это объясняется тем, что установление равновесной концентрации определяется не только генерацией носителей, то есть тепловым возбуждением электронов с донорных уровней в n-полупроводнике, но и их рекомбинацией. Когда в зоне проводимости появляется большое число электронов с донорных уровней, то освобожденные уровни в валентной зоне гораздо быстрее занимаются электронами, чем в собственном полупроводнике, что приводит к резкому уменьшению концентрации дырок.

Отметим, что закон действующих масс справедлив только для невырожденных полупроводников.