16. Полюс аналитической функции. Поведение аналитической функции в окрестности полюса

Пусть точка является изолир. ос. точкой ф-ции . Тогда по теореме Лорана из ф-цию можно разложить в ряд Лорана кольце

Опр. Изолир. ос. т. наз. полюсом, если сущ. натуральное число такое, что в разлож-ии (2) все при и . Т.е. разлож-е (2) имеет вид:

Таким образом, гл. часть разлож-ия ф-ции в р. Лорана в кольце имеет конеч. число членов. При этом число наз. порядком полюса. Если , то полюс наз. простым.

Теорема: Изолир. ос. т. является полюсом аналит. ф-ции тогда и только тогда, когда: , т. е. неогранич. возрастает при

Док-во: Необходимость Пусть - полюс ф-ции . Тогда по опр. ; ( - некот. натур. число).

Умножим обе части этого соотношения на . Получим (3): ,

Ф-ция аналит. в круге , если доопределить ее в т. : . Тогда из соотнош. (3) (4)

Первое слагаемое в правой части (4) - сумма конеч. числа аналит. ф-ций в . Второе слагаемое в (4) - степенной ряд, сходящийся в , т. к. , а степенной ряд, сх-ся в прав. ч-ти последнего р-ва по усл. сходится в (точнее в , а в т. сх-ть очевидна) Поскольку сумма степ. ряда аналит. ф-ция в , тем самым доказана аналитич-ть в . Из соотнош. (4) непосредственно след., что (5) Возьмем некот. число : . Из (5) , т. е. или . Из последнего нер-ва сразу же вытекает, что

Достаточность Пусть - изолир. ос. точка аналит. ф-ции и ( ) (6) Из усл. (6) и ; . Обозначим через ; . Из аналитичности ф-ции в и ; след. аналитичность ф-ции в . Кроме того из (6) вытекает, что . Поэтому ф-ция огранич. в нек. прокол. окр-ти точки с, и по теореме из точка явл. устранимой ос. точкой для . Доопределим ф-цию в т. : . Тогда т. - нуль ф-ции кратности . Тогда разлож-е ф-ции в круге в ряд Тейлора имеет вид: . Перепишем это соотнош. в виде: , где . Поскольку ф-ция есть сумма степ. ряда, сх-ся в (в т. сх-ть этого ряда очевидна, а если , то , а сх-ть степ. ряда, стоящего в числителе, в круге уже доказана), то ф-ция явл. аналит. ф-цией в круге . Т. к. , то , что ф-ция так же аналитическая в круге . Разложим ее в этом круге в ряд Тейлора: . Вернемся в ф-ции . Тогда: (7) Причем . Из разлож-я (7) и опр. полюса след., что т. полюс ф-ции порядка .

Следствие 1 При док-ве теоремы мы показали, что если аналит. ф-ция в некот. окр-ти точки имеет в самой т. изолир. нуль пор-ка , то для ф-ции , аналитической в некот. прокол. окр-ти т. . Эта т. будет изолир. ос. т.- полюсом пор-ка . Верно и обратное утв. : если т. - полюс пор-ка для ф-ции , аналитической в соотв. окр-ти точки , то для ф-ции , при доопределении , аналитической соотв-щей окр-ти т. , эта точка явл. изолир. нулем порядка . В самом деле:

Причем ф-ция аналит. в круге , если доопределить . Т.к. , то ф-ция также аналитическая в некот. круге и . Поэтому , где . Т. е. При доопределении получим, что т. явл. изолир. нулем порядка ф-ции .

Следствие 2 Изолир. ос. т. явл. полюсом порядка аналитич. ф-ции , тогда и только тогда, когда ф-ция допускает представление в виде: в некот. прокол. окр-ти в круге и .