10.Теорема Морера
Пусть
ф-ция f(z) непрерывна в области D и пусть
интеграл от нее по границе
любого замкнутого треугольника
D равен нулю, т.е.
=> f(z) аналитическая в области D.
#Фиксируем
произв. Точку
.
По опр. Области
.
Возьмем любую т.
и введем
,
где интеграл берется по отрезку
.
Покажем, что F(z) – аналит. В
и F’(z)=f(z) и возьмем приращение
,
столь малое по модулю, чтобы точка
Тогда
треугольник
D и
.
Если
вырождается в отрезок и посл. Равенство
очевидно по опр. Ф-ции F(z).
Т.к.
,
то
=>
[т.к.
]
<=
=>
,
т.е.
,
т.е. F(z) аналитическая в круге
=>
F(z) беск. Дифференцируема в
11.Ряд Тейлора. Единственность разложения в ряд Тейлора.
Т1.
Пусть ф-ция f(z) аналитическая в обл. D.
Зафиксируем произв. т.
.
d-расстояние от
до границы D. Тогда
– круг радиуса d с центром в
,
справедливо равенство :
не зависит от
;
– окружность радиуса
с центром в
,
ориент. против часовой стрелки.
#В
силу инт. Т. Коши для многосв. Обл.
интеграл, фигурирующий в (2) для коэф-тов
не зависит от выбора
.
По данной Т:
.
Рассм-им произв. т.
,
d-расстояние от
до границы D, т.е.
.
Возьмем любую т.
-круг
раудиусом d с центом в
.
-окружность
радиуса
с центром в
.
По инт. ф-ле Коши:
.
Аналогично ф-ле
для действительных x: |x|<1; доказывается
ф-ла
для комплексных t: |t|<1; =>
.Данный
ряд сх. Равном по
по пр. Вейерштрасса и условия
.
Воспользовавшись теор. О почленном
интегрировании равном. сх. ряда получим:
Замечание: Ряд в правой части равенства (1) с коэф-тами, определяемыми формулой (2), наз. рядом Тейлора ф-ции f(z) в т. , а само равенство, т.е. представление аналит. ф-ции f(z) в виде степенного ряда – разложение ф-ции в ряд Тейлора. При этом коэф-ты этого ряда называются коэф-тами Тейлора ф-ции f(z). Поэтому из рав-в (1) и (2) следует, что разложение аналит. ф-ции f(z) в ряд Тейлора возможно ед. образом
12.Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля.
Каждый
степенной ряд:
внутри его круга сходимости:
явл. Аналит. ф-цией. Тогда по т. разложении
аналит. ф-ции в ряд Тейлора =>, что каждый
степенной ряд внутри круга сходимости
является рядом Тейлора для своей суммы
и его коэф-ты
.
Предположим, что s(z) явл. Ограниченной
в круге сходимости степенного ряда
,
т.е.
,
тогда:
т.к
это неравенство справедливо
,
и коэф-ты
не зависят от
,
то перейдем в этом нерав-ве к пределу
.
Получим:
Эти
неравенства называются неравенствами
Коши для коэф-тов степенного ряда
или для коэф-тов ряда Тейлора аналит.
ф-ции
Теорема(Лиувилля):
Пусть ф-ция f(z) аналитическая во всей
комплексной плоскости и
,
тогда f(z) = const.
#Т.к.
f(z) аналит. ф-ция во всей комплексной
плоскости, то справедливо разложение
ф-ции в ряд Тейлора:
=>
радиус сходимости выписанного степенного
ряда равен
.
Т.к. по усл.
,
то справедливо нерав-во Коши для коэф-тов
ряда Тейлора:
при произв. R>0. Перейдем в этих
неравенствах к пределу при
.
Получим:
=>
#
13. Теорема единственности аналитической функции. Изолированность ее нулей.
Теорема.
Пусть
функции f(x)
и g(x)
аналитические в области D.
Пусть f(x)=g(x)
на некотором подмножестве в G
ϲ D.
Пусть подмножество G
имеет хотя бы одну предельную точку
.
Тогда f(z)=g(z);
Доказательство.
По теореме
о разложении аналитической функции в
ряд Тейлора:
– круг с центром в точке
,
радиуса d
– расстояние от
до границы D.
Т.к.
- аналитические функции в круге
и непрерывны в т.
Перейдем
к пределу при
:
.
Сократим их в равенстве рядов и поделим
каждый член ряда на
Получим
- аналитичны в круге
,
сходятся в нем и непрерывны в т.
.
Перейдем к пределу при
:
Продолжая
этот процесс имеем:
В силу единственности разложения в ряд
Тейлора в
отсюда следует, что f(z)=g(z)
.
– произвольная
точка. Т.к. D
открытое связное множество
можно
соединить ломаной
,
имеющей конечное число звеньев.
– расстояние от ломаной
до
–
граница области D.
Рассмотрим
замкнутый круг
.
По доказанному f(z)=g(z)
.
– точка
пересечения ломаной и окружности
.
– подмножество
D.
Тогда
является предельной точкой
За конечное число шагов точка
окажется внутри круга
т.к. ломаная
имеет конечную длину. Т.о.
Следствие.
Пусть
аналитическая функция
в области D.
Тогда в любой замкнутой ограниченной
подобласти
может существовать не более конечного
числа точек, в которых функция = 0.
Доказательство.
От противного:
пусть в любой замкнутой ограниченной
подобласти
функция имеет бесконечное число нулей
.
аналитична в области D,
значит, она непрерывна в
.
Т.к.
предельная точка
,
по доказанной теореме
,
что противоречит условию
Замечание
аналитическая функция
в
области D
может иметь в области D
не более чем счетное число нулей
в
области D,
тогда каждый нуль функции
в
области D
изолирован, т.е. если
