8.Интеграл типа Коши. Существование производных любого порядка у аналитической функции

(Аналитичность интеграла) Г – кус. Гладкая кривая Жордана f(z) непрерывна на Г. Тогда ф-ция

- аналитическая функция в любой точке ,причем существуют существуют производные любого порядка, которые равны:

# Возьмем произвольную точку , рассмотрим случай n=1 т.к. , с центром в точке z радиуса , так же не пересекающийся с кривой Г. Обозначим расстояние между . Тогда d>0. l – длина кривой Г. Возьмем приращение столь малым, чтобы точка . Оценим модуль разности.

Фиксируем для . Тогда если приращение столь мало, что:

1)точка

2) , т.е. , то тогда

, что означает существование предела

следовательно случай n=1 рассмотрен и доказана аналитичность F(z) в любой точке

Докажем по индукции, что ф-ция F(z) (n-1) раз дифференцируема и справедлива формула . Фиксируем и оценим модуль разности:

=

Последнее означает, что

(Существование производных любого порядка)

Теорема: Если функция f(z) аналитическая в области D, то она бесконечно дифференцируема в области D.

#Возьмем произвольную точку . Т.к. множество D – область, то существует круг радиуса с центром в точке , также принадлежащей области D.

Пусть ; . Применим к точке z и к кругу интегральную формулу Коши: . Правая часть этой формулы – интеграл Типа Коши, поэтому по теореме 1 правая часть есть бесконечно дифференцируемая функция в любой точке и в т.ч. в точке . Тогда и левая часть, т.е. функция f(z), бесконечно дифференцируема в точке . Т.к. точка – произвольная точка области D, то т2 доказана.

9. Неопределённый интеграл в комплексной области. Формула Ньютона - Лейбница.

Опр. Пусть ф-ция f(z) определена в области D а ф-ция F(z) дифференцируема в области D и . Тогда ф-ция F(z) называется первообразной ф-ции f(z) в области D. Совокупность всех первообразных ф-ции f(z) называется неопределенным интегралом от ф-ции f(z) в обл. D.

Т1: Совокупность всех первообразных ф-ции f(z) в обл. D определяется выражением: F(z)+C, где F(z) какая-нибудь первообразная ф-ции f(z) в обл. D, а С – произв. Пост.

#Р-им две первообр F(z) b G(z) ф-ции f(z) в обл. D, тогда (F(z)-G(z))’ = F’(z) – G’(z)=f(z)-f(z)=0 . Пусть (F(z)-G(z))’ = u(x,y)+iv(x,y). Тогда (F(z) – G(z))’ = =(Усл. Коши-Римана)= => для всех точек z=x+iy обл. D=>

Поэтому (F(z)-G(z))=const= в обл. D => G(z) = F(z) + C; #

Теорема: Если f(z) аналитичная в односвязной области D, то у нее в этой области существует первообразная.

#Фиксируем произвольную точку и пусть z-произвольная переменная точка . Рассм-им вдоль любой кусочно гладкой кривой , соединяющей точки и целиком лежащей в D. В силу интегральной теоремы Коши этот интеграл не зависит от , тогда этот интеграл функция в точке z.

покажем, что F(z) одна из первообразных для f(z) в D. D – область => . Возьмем приращение настолько малое по модулю, что точка и покажем, что . Фиксируем . Т.к. f(z) анал. В т. z => она непрер. в т. z => . Выберем все точки прямлин отрезка, соединяющего точки #

Т2(формула Ньютона-Лейбница): Пусть ф-ция f(z) аналю в односв. Обл. D. Пусть – произв. точки области D. Тогда , где -какя-нибудь первообразная первообр. ф-ции f(z) в D.

#По Т1. , где инт-л не зависит от вида кус. Гладкой кривой, соединяющей и лежащей в области D, а C=const. Пусть . Тогда . Возьмем где инт-л не зависит от вида кусочно гладкой кривой , соединяющей и лежащей в области D.

Замечание: Если область D не односв., то у ф-ции f(z) может не сущ. первообр. в D. Пример: