6. Интегральная теорема Коши для простого и сложного контура.

1) Замкнутая кусочно-гладкая кривая является кривой Жордана

2) Пусть Потребуем, чтобы функции имели первые частные производные первого порядка в области

Теорема Коши. Пусть функция аналитическая ы односвязной области . Тогда интеграл от по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой (Жордана) , лежащей в области равен 0, то есть

# По теореме Жордана кривая ограничивает некоторую область , в силу одно-связности области :

Выделим у функции вещественную и мнимую части Используя формулу Грина и условия Коши-Римана, получим:

Замечание1. Теорема Коши остаётся справедливой и в том случае, когда кривая является границей области .

Приведем ее формулировку. Пусть ограниченная односвязная область с границей Г. Пусть Г – кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана. Пусть функция аналитическая в области и непрерывна на замкнутом множестве тогда .

Замечание2. (Теорема Коши для сложного контура)

Пусть граница Г многосвязной ограниченной области состоит из замкнутой кусочно-гладкой гривой Жордана и попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких кривых Жордана расположенных внутри . Кривые ориентированы так что при обходе слева каждой из этих кривых область остается слева. Пусть функция аналитическая в области и непрерывна на замкнутом множестве , тогда

#Соединим кривые друг с другом разрезами , так чтобы получившиеся области были односвязными. Кривые кусочно-гладкие кривые Жордана, не пересекающиеся друг с другом.

О бозначим границу области через , а границу области через . Для каждой из областей справедлива в силу замечания 1 теорема Коши. Поэтому

С другой стороны, по свойству аддитивности интегралов:

Ориентация границ и порождается ориентацией . Интегрирование по каждому разрезу в правой части написанного равенства происходит дважды в противоположных направлениях. Поэтому интегралы по разрезам взаимно сокращаются. Следовательно,