3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной.

Рассмотрим функцию аналитическую в точке , т.е. дифференцируемую в некоторой окрестности точки . Пусть . Это условие означает, что якобиан отображения: в точке отличен от 0, т.к. отображение окрестности точки окрестности точки

При этом якобиан Следовательно, если , то В дальнейшем будет показано, что если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , то функции и имеют производные всех порядков по переменным x и y соответствующей окрестности точки . Поэтому можно воспользоваться теоремой о неявных функциях из курса математического анализа. По этой теореме система равенств в некоторой окрестности точки однозначно обращается. То есть, в некоторой окрестности точки определена и обратная функция , причем эта функция дифференцируема в точке и Таким образом, рассматриваемая точка при условии обладает окрестностью однолистности . Итак, пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и

Рассмотрим гладкую кривую , задаваемую уравнением , проходящую через точку . Обозначим через угол, образуемый касательной к кривой в точке и положительным направлением действительной оси ( при этом касательная считается направленной в ту же сторону что и кривая).

Тогда ’( – это следует из того, что: вектор касательной к кривой в точке имеет вид , если и формулы .

О бозначим через На плоскости комплексной переменной кривая проходит через точку . По правилу дифференцирования сложной функции: . Так как по условию, а так как кривая гладкая, то и, следовательно, кривая имеет в точке касательную. По аналогии обозначим

Тогда из формулы следует: или или - эта величина называется углом поворота кривой в точке при отображении

И з формулы следует, что при угол поворота в точке не зависит от вида кривой и равен Таким образом, все гладкие кривые, проходящие через точку , поворачиваются при отображении на один и тот же угол: это геометрический смыл аргумента производной.

И з геометрического смысла аргумента производной непосредственно следует, что при отображении , где дифференцируема в некоторой окрестности точки функция и , сохраняется угол между любыми двумя гладкими кривыми, проходящими через точку , как по величине, так и по направлению отсчета. Это свойство отображения называется свойством сохранения углов или консерватизмом углов в точке.

По-прежнему будем считать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и . Возьмем произвольную точку z кривой , лежащую в достаточно малой окрестности точки . Обозначим .

Тогда расстояние между точками на плоскости Z, а расстояние между точками на плоскости

П о определению дифференцируемости в точке

или Эта величина называется линейным растяжением кривой в точке при отображении или искажением масштаба. Следовательно, линейное растяжение в точке не зависит от вида и направления кривой и равно – это геометрический смысл модуля производной. Это называется постоянством растяжения в точке