25. Линейность преобразования Лапласа. Теоремы подобия, запаздывания и смещения.
Свойства преобразования Лапласа:
Линейность. Пусть
Возьмем
произвольные комплексные числа
:
Это свойство вытекает из определения
преобразования Лапласа и линейности
интеграла.
Теорема подобия. Пусть
.
Пусть
.
Тогда
#Замена:
=>
#
Теорема запаздывания. Пусть . Пусть число
.
Обозначим:
, Тогда:
#
Замена:
Тогда
#
Теорема смещения. Пусть . Пусть
– произвольное комплексное число.
Тогда:
#
функция
и имеет показатель роста:
.
Тогда:
#
26. Теоремы о дифференцировании оригиналов и изображений
Дифференцирование оригинала
Пусть:
и пусть существует ф-ция:
также
принадлежит классу
.
Тогда:
#
.
Поскольку существует правая часть
равенства при
,
то существует и левая, и интегрирование
по частям при
возможно.#
Следствие:
Пусть
и пусть существует ф-ция
принадлежащие
классу
.
Тогда:
,
где
– правые производные ф-ции f(t)
в точке t=0.
#Доказывается применением n раз Свойства Дифференцирования оригинала#
Дифференцирование изображения.
Пусть:
.
Тогда:
#Ф-ция
F(p)
Аналит. При
и производная
вычисляется по ф-ле:
.
Ясно, что ф-ция
и имеет тот же показатель роста
,
что и f(t).
В самом деле:
Отсюда вытекает, что ф-ция tf(t) имеет тот же показатель роста , что и ф-ция f(t). Т.о. #
Следствие.
Пусть
.
Тогда
#
Достаточно применить св-во Дифференцирования
изображения n
раз и учесть, что умножение ф-ции
на любую степенную ф-цию
не меняет показатель роста #
27. Теоремы об интегрировании оригиналов и изображений.
Интегрирование
оригинала. Пусть
f(t)
≓F(p),
Re(p)>s0.
Пусть s0≥0.
Тогда:
(Re(p)>s0)
Док-во:
Функция g(t)
имеет показатель роста, не превышающий
s0:
)
Кроме
того, g(0)=0
и g(t)∈Φ,
g’(t)∈Φ;
(Функция g’(t)
существует для всех t:
-∞<t<+∞
за исключением точек разрыва функции
f(t).
В этих точках функцию g’(t)
можно доопределить, например, нулем, и
выполняется равенство g’(t)=f(t)
за исключением точек разрыва функции
f(t).
Тогда по свойству 5, если
,
то F(p)=p*G(p)-g(0)
при Re
p>s0
или
F(p)=p*G(p),
т.е.
при Re
p>s0.
ч.т.д.
Интегрирование
изображения Пусть
f(t)
≓
F(t)
при Re
p>s0
и пусть:
∈
Φ,
Re
p>s0
Тогда
;
Re
p>s0.
(интегрирование
ведется от точки p
вдоль луча, параллельного действительной
оси)
Док-во:
По теореме 2
функция
аналитическая
в области Re
p>s0
и ее производная может быть найдена по
формуле:
=
при
Re
p>s0
Тогда
по формуле Ньютона-Лейбница:
,
для любой точки p1,
лежащей на луче интегрирования.
Перейдем
к пределу в последнем равенстве при
p1⟶∞.
В силу замечания к теореме 1 G(p1)
⟶0
(p1⟶∞).
Следовательно,
при Re
p>s0
ч.т.д.
28.
Обращение преобразования Лапласа.
Формула Меллина
Теорема: Обращение преобразования Лапласа. Формула Меллина
Пусть
известно, что заданная функция F(p)
является изображением некоторой функции
с показателем роста
те
.
Пусть, кроме того, известно что ф-ция
в каждой точке
имеет конечные односторонние производны.
Тогда в точках непрерывности t
ф-ции f(t)
справедливо равенство:
где интеграл берется вдоль вдоль прямой
и
понимается в смысле главного значения.
Причем этот интеграл не зависит от
Док-во
Возьмем
любое число
и рассмотрим вспомогательную функцию
Тогда функция g(t)
во всех точках
имеет конечные односложные производные,
непрерывна во всех точках
,
что и функция f(t)
и экспоненциально стремиться к нулю
при
.
Поэтому ф-ция g(t)
абсолютна интегрируема на всей прямой
и может быть представлена в виде интеграла
Фурье в точках непрерывности:
Внешний интеграл понимается в смысле главного значения. Перейдем к фун-ции f(t)
=
обозначим
и перейдем от инт. по перем
во внешнем интеграле к переменной р.
]
=
или после сокращения на
левая часть f(t)
не зависит от
.
Поэтому от
не
зависит и правая часть.
и
нтеграл
берется вдоль этой прямой и понимается
в смысле главного значения