20. Теорема о сумме вычетов на расширенной комплексной плоскости

f(z) – аналитическая на расшир. компл. пл-ти переменной z за искл. конечного числа изолир. особых точек Тогда

Док-во

– круг, R>0,

по осн. теореме о вычетах

ориент. против часовой стрелки

т.к , получим:

21. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.

Теорема: Пусть функция f(x), определенная на вещественной оси может быть продолжена на верхнюю полуплоскость с помощью некот. f(z) так, что:

1. f(z) аналитич. в обл. Imz>0 всюду за искл

2. f(x) непр в верх. полупл всюду за искл

3. , что R>0, M>0, и для

Тогда несобст. инт. сх. и справедливо

Док-во:

тк f(x) непр на мн-ве ( , для и по признаку сравн. дл сход несобст. инетгралов первого рода сход.

Р ассм полуокр достат. большого радиуса R с центром в начале координат. – верхняя полуплоскость.

Условия радиуса:

1. r R

2. все конеч. изолир. особые точки внутри круга

Рассм. замкн. кривую Г=

По основной теор. о вычетах:

перейдем к пределу в последнем рав-стве

правая часть не зависит от r, тк у f(z) нет других особых точек в кроме . Восп тем что и для :

Поэтому

22. Лемма Жордана

Пусть a>0 и выполнены условия:

1. ф-ция f(z) непр. в обл.

2. 

Тогда

Доказательство

Обозн . Тогда по условию .Возьмем >

оценим последний интеграл

=

рассм ф-цию h( , покажем, что убывает при . Пусть сначала ). Тогда

Теперь рассм ф-цию ; Покажем, что убывает при . По теореме Лагранжа , где

Покажем теперь, что убывает при Возьмем . По теореме Лагранжа и убывание доказано. По второй теореме Вейерштрасса достигает своего наименьшего значения в некоторой точке и в силу убывания эта точка Очевидно, что при это неравенство выполняется, те . Итак

23. Вычисление интеграла с помощью леммы Жордана.

Рассмотрим функцию . Пусть . Тогда f(z) удовлетворяет всем условиям леммы Жордана. Особые точки f(z) – нули знаменателя: ­­ – простые полюсы. Из неравенства: , непрерывности подынтегральной функции и признака сравнения для несобственных интегралов первого рода следует, что несобственный интеграл: сходится. Рассмотрим следующий замкнутый контур . Обозначим его через Г. Тогда . По основной теореме вычетов: То есть: Перейдем в этих равенствах к пределу при . По лемме Жордана: = 0. Поэтому . Тогда .

24. Преобразование Лапласа. Оригиналы и изображения. Показатель роста. Полуплоскость сходимости. Аналитичность изображения ( без док - ва ).

Рассмотрим комплекснозначную ф-цию f(z) действительной переменной t, определенную на всей действительной оси. То есть, ; , где действительные ф-ции одной переменной t. Пусть так же выполнены условия: 1) f(t) = 0 при t < 0 2) при t 0 ф-ция f(t) на любом конечном сегменте оси t имеет конечное число точек разрыва первого рода, а в остальных точках этого сегмента непрерывна.(т.е. такими св-ми обладают ). 3) существуют такие вещественные постоянные M >0 b S, что: .Ф-цию удв. Условиям 1-3 назовём ф-цией ограниченого роста. Число , S – множество всех таких чисел s, для которых выполняется неравенство, фигурирующее в пункте 3, называется показателем роста ф-ции f(t). В дальнейшем обозначим класс ф-ций f(t), для которых выполнены условия 1-3 через Ф.

Преобразование Лапласа функции f(t) Ф – ф-ция F(t) комплексной переменной

. При этом ф-цию f(t) называют оригиналом ф-ции F(p), а ф-ию F(p) изображением ф-ции f(t). f(t) ﮳ =^﮲ F(p) и F(p) ﮳ =^﮲ f(t).

Отметим что интеграл (1) сходится не для всех значений p при произвольной ф-ции f(t) Ф.

Теорема 1. (о существовании изображения). Пусть ф-ция f(t) Ф, пумть число s₀ показатель роста ф-ции f(t), ( Тогда в правой полуплоскости Re p > существует ф-ция F(p), причем в области: ; Интеграл (1) сходится равномерно по p.

Доказательство: Возьмем и обозначим . Из определения класса Ф следует что: ( -положительная постоянная). Пусть . Тогда: при Re p = s > . Поэтому в силу признака сравнения сходимости несобственных интегралов и произвольности получим, что при ф-ция F(p) существует, т.е. при несобственный интеграл (1) сходится. Кроме того, если зафиксировать и положить: ε =δ/2, то из полученной оценки следует что при p: Re p = s . Тогда из признака Вейштрасса и оценки: для p: Re p = s , вытекает равномерная сходимость несобственного интеграла (1) в области Re p , . Ч.т.д.

Теорема 2. Пусть ф-ция f(z) Ф, пусть число s₀: показатель роста f(t). Тогда в правой полуплоскости Re p > преобразование Лапласа есть аналитическая ф-ция комплексной переменной p и справедлива формула