18. Вычет аналитической функции относительно конечной и бесконечной изолированной особой точки. Вычисление вычета относительно полюса.

Пусть точка и функция аналитическая в некоторой проколотой окр-ти точки , то есть в кольце , . Пусть точка – изолированная особая точка функции . Тогда в кольце функцию можно разложить в ряд Лорана: , называется число, равное коэффициенту ряда Лорана функции в некоторой проколотой окрестности точки : , .

Это число обозначается символом: .

Таким образом,

Поскольку для коэффициента ряда Лорана была получена формула: , где и коэффициент не зависит от выбора , то для вычета функции в точке справедлива формула

, окружность ориентирована против часовой стрелки.

Если – устранимая особая точка функции , то , так как в этом случае главная часть ряда Лорана отсутствует.

1. Случай простого полюса (полюса первого порядка)

Пусть изолированная особая точка является полюсом первого порядка функции . Тогда в некотором кольце , функция разлагается в ряд Лорана:

, , , . Тогда:

(мы перешли к пределу при в последнем равенстве и учли, что по св-ву степенного ряда.

Так как точка – полюс первого порядка функции , то ее можно представить в виде:

, где – аналитические в круге , причем

.

Тогда .

То есть: .

2. Случай кратного полюса (полюс порядка )

Пусть изолированная особая точка является полюсом порядка функции . Тогда в некотором кольце , функция разлагается в ряд Лорана:

, , , . Отметим, что тогда степенной ряд представляет собой аналитическую функцию в круге , которую можно почленно в этом круге дифференцировать сколько угодно раз. Умножим полученное равенство на , продифференцируем его затем раз по переменной и перейдем к пределу при . Тогда:

, .

После дифференцирования раз и перехода к пределу в правой части последнего неравенства останется только член , все остальные слагаемые в правой части либо исчезнут после дифференцирования, либо обратятся в нуль при переходе к пределу при . Таким образом,

3. Вычет в бесконечно удаленной точке

Пусть есть изолированная особая точка функции , то есть существует такое , что функция является однозначной аналитической функцией в кольце

, тогда функцию можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана:

Определение: Вычетом функции в точке называется число, равное , где – коэффициент ряда Лорана функции при члене в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки.

Это число обозначается символом .

Таким образом . Поскольку для коэффициента ряда Лорана была получена формула: , окружность ориентирована против часовой стрелки и коэф-т не зависит от выбора , то для вычета функции в точке может и не быть равным нулю, когда эта точка является устранимой. В этом отличие вычета функции в точке от вычета в конечных точках.

19. Основная теорема о вычетах.

D – ограниченная многосвязная область, граница состоит из замкнутой кусочно-гладкой кривой Г₀ и попарно не пересекающихся кус-гл кривых Жордана Г₁,…,Г_m, расположенных внутри Г₀.

F(z) непрерывна в замкнутой области и аналитическая в области D за искл конечного числа изолированных особых точек: z₁, z₂, …, z_n D. Все кривые ориентированы против часовой стрелки

Тогда док-во

– окружность около каждой особой точки k=1,…,n

и при , k,i=1,…,n (окружности попарно не пересекаются).

Рассм обл D\ . Граница области Г. Интегральная теорема Коши для многосвязной функции – выполнены условия

Последнее равенство – опр вычета функции в изолированной особой точке