полезные файлы (наверное) / Metody_matematicheskoy_fizki_Merkulov

Матрица коэффициентов при вторых производных

23

00 a2

Собственные числа 1 = 1, 2 = 3 = a2. Уравнение имеет гиперболический тип.

Пример 4.15. Рассмотрим уравнение теплопроводности

Собственные числа матрицы A: 1 = 0, 2 = 3 = 4 = a2. Уравнение теплопроводности – это уравнение параболического типа.

Из разобранных примеров видно, что наиболее просто тип уравнения определяется в случае, когда матрица A диагональная, т. е. когда уравнение не содержит смешанных производных. Такой вид уравнения принято называть каноническим.

Уравнение с постоянными коэффициентами всегда можно привести к каноническому виду с помощью линейной замены переменных, например используя ту же методику, что и для приведения квадратичной формы к каноническому виду. Проиллюстрируем эту методику на примере.

к каноническому виду.

Выпишем симметричную матрицу коэффициентов при вторых производных:

23

140

Нетрудно проверить, что собственными числами матрицы A будут 1 = 0,2 = 3, 3 = 6, а соответствующие нормированные собственные векторы

Матрица перехода, составленная из собственных векторов, и даст необходимое преобразование координат

Введем новые координаты x0, y0, z0 следующим образом:

141

Полученное уравнение – это уравнение параболического типа в канонической форме.

Подводя итоги, отметим, что рассмотренные ранее уравнения принадлежат разным типам. Для этих уравнений по-разному ставились дополнительные условия. Правила их постановки целиком определяются типом уравнения.

Для уравнений эллиптического типа ставятся краевые условия на всей границе области определения уравнения так, как это делалось для уравнения Лапласа.

Для уравнений гиперболического типа выделяют одну переменную (обычно она соответствует времени) и ставят по ней 2 начальных условия, а по остальным переменным ставятся краевые условия так, как это делалось для волнового уравнения.

Для уравнений параболического типа со временем связывают переменную, по которой отсутствует вторая производная. По ней ставится начальное условие, а по остальным – краевые, как для уравнения теплопроводности.

4.12.Корректные и некорректные задачи для уравнения Лапласа

В 4.11 были сформулированы условия, которые следует накладывать на уравнения разных типов. Возникает естественный вопрос: что будет,

142

устойчивости по начальным данным нет и начально-краевая задача (4.28) некорректна.

5. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

5.1. Задача о минимуме функционала

Интегральным функционалом или просто функционалом назовем отображение вида

a

где F – заданная функция трех переменных. В общем случае функционалом называют отображение некоторого класса функций одной или нескольких переменных на множество действительных чисел. Областью определения функционала (5.1) назовем множество функций, дифференцируемых на промежутке [a; b] и удовлетворяющих краевым условиям Дирихле

n o

D(J) = y 2 C[1a;b]; y(a) = t1; y(b) = t2 :

Поставим задачу нахождения минимума функционала (5.1), т. е. нахождения такой функции y0 2 D(J), которая удовлетворяет следующему

условию: 9" > 0, такое, что 8y 2 D(J) и max jy(x) y0(x)j < " выполнено

y6=y0 x2[a;b]

неравенство J(y) > J(y0).

Предположим, что на функции y0 функционал J(y) достигает минимума. Пусть v(x) – произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию v(a) = v(b) = 0. Рассмотрим следующую функцию:

Если функционал J(y) имеет минимум в y0, то '(t) будет иметь минимум при t = 0 и, следовательно, '0(0) = 0. Найдем производную '(t), не обосновывая возможность дифференцирования интеграла (5.2) по параметру

b

145

и проинтегрируем второе слагаемое по частям:

В силу условия v(a) = v(b) = 0 получаем

b

Так как функция v(x) произвольна, последнее равенство возможно только при

Уравнение (5.3) называется уравнением Эйлера для функционала (5.1). Пример 5.1. Найти линию наименьшей длины, соединяющую точки

A(a; t1) и B(b; t2).

Как известно, длина кривой y(x):

Его общее решение y = c1x + c2 – прямая линия. Если подставить сюда координаты точек A и B, получим значения констант c1 и c2.

Пример 5.2. Задача о наименьшей поверхности вращения: определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади.

Как известно, площадь поверхности вращения

146

Найдем минимум функционала

yy00 = (y0)2 + 1:

Данное уравнение не содержит в явном виде x, поэтому его можно свести к

или

12 ln(p2 + 1) = ln jyj + ln jc1j:

Отсюда

p2 + 1 = c21y2

и получаем уравнение

q

y0 = c21y2 1:

147

c21y2 1

Получилось так называемое уравнение цепной линии. Значения констант c1 и c3 определяются из граничных условий.

Пример 5.3. Рассмотрим функционал

a

Найдем производные подынтегральной функции

F (x; y; y0) = p(x)(y0)2 + q(x)y2 2f(x)y :

@F@y = 2q(x)y 2f(x);

Отсюда получаем уравнение Эйлера

(p(x)y0)0 + q(x)y = f(x):

Получилось хорошо знакомое из разд. 1 уравнение с симметричным дифференциальным оператором.

Пример 5.4. Рассмотрим дифференциальное уравнение

L(y) (p(x)y0)0 + q(x)y = f(x)

148

с краевыми условиями y(0) = 0, y(b) = 0. Построим функционал

С учетом краевых условий получаем

т. е. функционал вида (5.4).

Пусть L(y) – линейный симметричный положительно-определенный дифференциальный оператор. Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.1. Задача решения операторного уравнения

L(y) = f(x)

и задача поиска минимума функционала

J(y) = (L(y); y) 2(f; y)

эквивалентны.

Доказательство. Возьмем линейную комбинацию функций y + v и распишем функционал J(y + v), используя свойства скалярного произведения и линейность L:

J(y + v) = (L(y + v); y + v) 2(f; y + v) =

= (L(y); y) + (L( v); y) + (L(y); v) + (L( v); v) 2(f; y) 2(f; v):

Всилу симметричности оператора L имеем

(L( v); y) = ( v; L(y)) = (L(y); v):

Поэтому

J(y + v) = (L(y); y) 2(f; y) + 2 (L(y); v) 2 (f; v) + 2(L(v); v);

или

J(y + v) = J(y) + 2 (L(y) f; v) + 2(L(v); v):

149