Добавил:

FuwaFuwa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

Функции нескольких переменных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2025

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

Функции нескольких переменных

ЗАДАНИЕ 1а. Найти ¶¶xz и ¶¶yz функции:

1. z = 2x y + sin (2x y).

3. z = arctg xy .

5. z = 2x y3 + arcsin x.

7. z = arcsin (x2 / y).

9. z = xy + arctg (x + y).

11. z = ln sin (x2 + y).

13. z = e y + ln (x2 + x y).

15. z = ln tg (х / у).

17.

z = 3x2 y + cos(3x2 + 2x y).

2. z = ex y + ln (x + ln y).

4. z = arctg x + y . y

6. z = ln (x2 + y2 + x y).

8. z = arccos x2 + y2 .

10. z = tg xy .

12. z = 3x y + sin (x2 + y2 ).

14. z = cos ln x y.

16. z = tg ln (x2 + y2 ).

18. z = e3x+4 y + arctg (2x + y).

19.	z = 5xy + ln (x3 + 3x y).
		x
21.	z = arctg		.
		x + y
23.	z = arctg 2x - y .
		x2
25.

z = arc cos(x + y) + (xy)2 .

27. z = sin ln (5x + 8y).

29. z = ln c tg	x		.
	3y -	4x

20. z = ctg (2x +4xy3 ).

22. z = ln cos(x +4xy).

24. z = 2xy3 + cos(9x + 4x y2 ).

x+1

26. z =-e y + ln (3x2 + 4xy y2 ).

28.z = arccos x2 + 4y . x - y

30. z = 3x + 5y2 + ln (xy).

ЗАДАНИЕ № 1 б. Найти ¶¶xz и ¶¶yz функции:

1. z = arcsin xx+yy .

3. z = ln (x2 + 3y2 + x y).

5. z = ln	x y	.
	5x + y

7. z = xy + yx .

9. z = ln cos(x y).

11.

z = arcctg (y / x ).

13.

z = x2 + y2 .

15.

z = e2x+y +

x2 + y2 .

17.

z = arccos

7x + 9y

19.

z =-+cos(2x

3xy2 ) tg y.

21.

z =-ln (x3y3

xy).

23.

z =-+3 3x2 y

9y.

25.

z =× cos(x3 + 3xy) e5xy .

27.

z = e8y+xy +

x2 y + yx2 .

29.

z =-arcsin

7y.

2. z = sin (x + y) + tg (x2 y).

4. z =× tg xy sin xy .

6. z =-cos x3 + sin y3 x y.

8. z = sin ln xy .

10. z =		x	.

	x2	+ y2

12. z = arcctg (x / y).

14. z = 2x + y . x - 3y

16. z = arcsin x y.


18.	z =-ln sin			(x + y2					xy).

20.	z = ar ctg				x2 + y2 .
22.	z =× tg (2x +-y) cos(x2 9xy).
24.	z =	4x2 -12y				.
24.	z =		x + y			.
			x + y

26.	z = 5 xy3 + 4x2 .
28.	z = ln		3x2	+-8xy				4	.
28.	z = ln			x + y					.
				x + y
30.	z = cos ln			x + y			.
30.	z = cos ln						.
				x - y

ЗАДАНИЕ 2. Показать, что

1.	2	z		2	z
	¶		=	¶		для функции z = ln (x2 + y).
	¶x ¶y			¶y ¶x

¶x ¶y

¶y ¶x

¶x ¶y

¶y ¶x

= 0

¶ x2

¶ y2

= 0

¶ x2

¶ y2

z +

= 0

¶ x2

¶ y2


для функции	z = 2x y + y2
для функции	z = xy .
для функции	arctg	x	.
для функции	arctg		.
		y
для функции	z = ln			1	.

				x2 + y2
для функции	z =-ex (x cos y y sin y)

7.	2	z		2	z
	2			2
	¶		=	¶		для функции z = arccos	x	.
	¶x ¶y		=	¶y ¶x		для функции z = arccos		.
	¶x ¶y			¶y ¶x			y

¶2z

¶ z

¶ z ö

¶2z

x ×+×

+2ç

для функции

¶y

¶ x

¶ y

¶x

¶ y ø

¶2z

для функции

z =-2cos

ç x

¶ y

¶x ¶y

10.

¶2z

= 0

для функции

z = ln (x2 + y2 ).

¶ x

¶ y

- y

z = x e x .

y ö÷.

2 ø

11.

¶2z

для функции

z =×

cos y .

¶ x2

¶ y2

12.

¶2z

1 1

для функции

z =-ln ç

÷.

¶x ¶y

¶ x

è x y ø

13.

¶2z

для функции

z = arctg

¶ x2

¶ y2

14.

ö2

×=¶

0 для функции

z = ln (ex + ey ).

¶ x

¶ y

¶x ¶y ø

15.

¶2z

= a

¶2z

для функции

z =

16.

¶ x2

¶ y2

y2 - a2

x y

для функции

z =

¶x ¶y

¶ x2

¶ y2

x - y

17.

¶2z

= 0

для функции

z = ln (x2 + y2 ).

¶x

¶y

18.

¶2z

для функции

= ln (x

+ 2y).

=-+

4x×

¶x

¶y

19.

¶2z

¶z

для функции z =

¶+¶+x¶2

¶y2

y 4х y

+ 4x

y 4х x

20.

¶2z

=-+ ×

¶2z

для функции

=×+

x cos(x

¶x2

¶y2

21.

2 sin (x

3y ×+×=¶z

¶z

3x+

для функции

z = e3xy .

¶y

¶x2

¶y2

¶x

22.

x ×+×=¶z

¶z

для функции

z =×

¶y

¶x

23.

×+×=¶z

¶z

для функции

z =

(x2 - y2 )5

¶x y ¶y y2

24.

x ×+×=¶z

¶z

для функции

z =×

(

x2 + y2

)

¶y

¶x

25.

x ×+×=¶z

¶z

для функции

z = arcsin

x - y

¶y

¶x

x + y

26.

¶z

2x + 3y

x ×+×=-

¶y

для функции

z =

x2 + y2

¶x

27.

¶z

2(x + y)

для функции

z =

2 + y2

¶x

¶y

x - y

28.

¶z

(

)

x ×+×=-

для функции

z =-ln

+ x

¶y

¶x

29.

¶z

=+-¶z

cos x

cos y

3cos(2x

для функции

¶x

¶y

z =-sin x + sin y + sin (2x

y).

30.

x2 ×+¶z

-=xy × ¶z

0 для функции

z =

+ arcsin (xy).

¶x

¶y

ЗАДАНИЕ 3. Исследовать на экстремум:

1. z =-+x2 + y2

6х 8у 2.

2. z =-x2 +-x y + y2

2x y.

3. z =-+2x - 2y - x2

4. z =-+x2 + y2 + 4x 4y 3.

5. z =-+x2 -+8x

+10y

x y

17.

6. z =-+4x +- 5y -x2

x y

7. z =-3x +-9y -x2 -x y y2

8. z =-1 + 6x- x-2

x y y2.

9. z =-+13у -+11х-

х у

10.

z =-6x - 8y - x2 - y2

17.

11.

z =-+x2+

2y2.

12.

z =-+x2 ++y2

13.

z =-+x2 + -x y + y2 13x

11y

14.

z =-+2x y- 3x2

2y2

10.

15.

z =-+x2 + x y + y2 + x

16.

z =-4x - 4y - x2

y2.

17.

z =-+x2 + y2

8хy

18.

z =-+-+3x2 + 2x y

4y2

10x

19.

z =-+-x2 +-6хy

14x

2у2

6y 1.

20.

z =-+7x2 ++4x y +10x

3y2

10y

21.

z =+- 3x2-+ 4x y

14x

5y2

22y.

22.

z =-+ 4x2+ 2x y

14x

3y2

2y.

23.

z =-+4x2 +16xy + 9y2

36y

24.

z =+- 3x+2- 6x

12y

25.

26.

z =-+ 2

+ 5xy + 4x

12y

z =-+-

2 y

3y.

27.

z =-2x2 +-4xy

3y2

10y.

28.

z =-+

2xy

6y.

29.

z =-+-+2x2 + 4xy

6y2

16y

30.

z =+-

x2 - 6xy-

2y2

4x.

ЗАДАНИЕ 4. Найти производную функции:

z =-+x3

3x+2 y

3x y2

точке

(3; 1) в

направлении

от этой

точки

к точке

(6; 5).

точке

(1;

1) в

направлении

биссектрисы

1-го

z = arctg xy

координатного угла.

1 в точке

(2; 1) в направлении от этой точки к

z =-x2 y2- x y-3

началу координат.

z = arctg

в точке

(1; 1) в направлении

луча,

образующего угол в

60о с осью ОХ.

z = ln (ex + ey )

в начале координат в направлении луча, образующего

	угол в 30о		с осью OX.
6.	z = arctg	y	в точке (1; 3) по направлению вектора e = {3; 4}.
6.	z = arctg	x	в точке (1; 3) по направлению вектора e = {3; 4}.
		x
7.	z =- x2 -x y		2y2	в точке	(1; 2) в направлении, составляющем с осью
	OX угол в 60о.
8.	z = 3x4 + x y + y2			в точке	(1; 2) в направлении вектора, образующего с
	осью OX угол в 45о.
9.	z = arctg	y	в точке (3; 1) по направлению вектора e = {3; 4}.
9.	z = arctg	x	в точке (3; 1) по направлению вектора e = {3; 4}.
		x

10.	z = ln (ex + ey )		в точке	(1; 1)	в направлении биссектрисы 1-го
11.	координатного угла.
11.	z =-+x2 3x y	5	в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1;
	1).
12.	z =-x y2 + x3	x y	в точке	(1; 1) в	направлении, образующем углы α

= 30о, β = 60о с осями координат.

13.z = 2x y2 + y3 + 3x y в точке (4;1) в направлении от этой точки к точке (5;1).

14.

z = x y

в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4).

15.

z = x2 y + x3

в точке (1; 1) по направлению вектора e =-{1;

1}.

16.

z = x3 + 3x2 y + 6x y + y2 в точке

(1; 1) в направлении от

этой точки

17.

к точке (2; 2).

в точке (1; 1) в направлении вектора a =-(1,

1).

z =

x2 + y2

18.

z =-x2 y

в точке (1; 5) в направлении вектора a =-(2,

2).

19.

z =- x2

-4xy

точке (1; 1) в

направлении от этой точки к началу

20.

координат.

в точке (-2; 1)

в направлении

луча образ. угол 60º с

z =-+x2 y

5y2

21.

осью ОХ.

в точке (2; 2) в

направлении

луча образ. угол 30º с

z =- yx2

x3y

22.

осью ОХ.

в точке (2; 1) в направлении вектора a =- ( -2, 1).

z =-x

yx2

23.

z =-x2 + y2

точке (3; 4) в

направлении от этой точки к началу

24.

координат.

в точке (2; 1) в направлении вектора a =-(3,

4).

z =-+x2

25.

z =- xy

точке (-4; 3) в направлении вектора a = (5,1).

26.	z =		+ y2		в точке (1; 1) в направлении вектора a =- ( 2, 2).
		xy
27.	z = x3 + y2 + xy					в точке (1; -3) в направлении биссектрисы первого
28.	координатного угла.
	z = x + 2y + x2 y2					в точке (2; 2) в направлении от этой точки к точке
29.	(3; 3).
	z =-x2 y				в	точке (1; 5) в направлении от этой точки к точке (1;
				xy
30.	2).					в точке (1; 3) в направлении вектора a =- ( 1, 2).
	z =-+3	x2		xy2

Соседние файлы в предмете Математика

#
10.06.2025531.3 Кб0Задачи АГ.pdf
#
10.06.2025482.55 Кб0Задачи ВА.pdf
#
10.06.202590.1 Кб0Руководство_Математика_практика_КЗИ-212.pdf
#
10.06.202521.69 Кб0ФНП_3вар.docx
#
10.06.2025115.61 Кб0ФНП_3вар.pdf
#
10.06.20253.59 Mб0Функции нескольких переменных.pdf