ФНП_3вар
.pdfМинистерство науки и высшего образования РФ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Омский государственный технический университет»
Кафедра «Высшая математика»
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
по математике за II семестр
по модулю: Функции нескольких переменных
Вариант № 3
Выполнила: ст. гр. КЗИ -212
Любицкая А.В.
Проверила: ст. преподаватель
Анисимова Г. Д.
_________________
(подпись, дата)
1а |
1б |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
Омск 2022
1а:
∂z ∂z
Найти и функции:
∂x ∂y
z = arctg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂z |
|
x |
|
|
|
y |
||||||||
|
|
= ( arctg |
|
|
|
)’ = |
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
y2 |
|
||||||||||
∂x |
|
y |
+ x2 |
|||||||||||
∂z |
x |
|
|
|
y |
|||||||||
|
|
= (arctg |
|
|
)’ = |
- |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂y |
y |
|
y2 + x2 |
|||||||||||
1б:
∂z ∂z
Найти и функции:
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z = ln(x +3 y |
+xy ) |
|
|
|||||||||
решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 + |
|||
|
|
= (ln( |
+3 |
|
+ ))’= |
|
|
|
|
|
||
∂ |
|
|
|
|
|
2 |
+ 3 2 + |
|||||
∂ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
6 + |
|||
|
|
= (ln( +3 |
|
+ ))’= |
|
|
|
|
||||
∂ |
|
|
|
|
|
2 |
+ 3 2 + |
|||||
2: |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Показать, что |
∂ |
= |
∂ |
|
для функции z= |
|||||||
|
|
|
|
∂ ∂ |
∂ ∂ |
|
|
|||||
решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Найдём |
∂ |
от функции z= : |
||||||||
∂∂
∂= ( )’ = − 1
|
2 |
|
|
|
− 1 |
|
− 1 |
− 1 |
||||||||
|
|
∂ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
)’= |
|
* ln ( ) + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Найдём |
|
|
от функции z= |
: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂ |
|
|
’ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= ( ) |
ln ( ) * |
|
|
||||||||||
|
|
∂ |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
’= |
− 1 |
− 1 |
|||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= ( ln ( ) * ) |
|
+ |
* * ln ( ) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приравняем |
|
2 |
|
и ∂ |
2 |
|
|
|
|
|||||||
∂ |
: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|||||
|
− 1 |
|
|
|
|
|
− 1 |
− 1 |
− 1 |
* * ln ( ); |
||||||
* ln ( ) + |
|
|
= |
|
+ |
|||||||||||
Переставим слагаемые во второй производной:
− 1 |
− 1 |
− 1 |
− 1 |
|
* ln ( ) + |
= |
* ln ( ) + |
ч.т.д.
3:
|
|
|
|
2 |
2 |
Исследовать на экстремум: z=2x-2y- |
− +6 |
||||
решение: |
|
|
=2-2 x; |
|
|
∂ |
2 |
2 |
|
||
|
= (2x-2y- − +6 ) ' |
|
|
||
∂ |
= -2-2y; |
|
|||
∂ |
2 |
2 |
|
||
= (2x-2y- − +6 ) '
∂
Приравняем производные к нулю:
2-2x=0; x=1;
-2-2y=0;y=-1;
2
∂ =-2 (A)
2
∂
2
∂=0 (B)
∂∂
2
∂ =-2 (C)
2
∂
Посчитаем экстремум:
2
экстремум существует, и тк А>0 , это точка максимума.
∆= * − = 4;4>0 = >
= (1; − 1) = 2 + 2 − 1 + 1 + 6 = 10
4:
2 |
2 |
− |
3 |
в точке (2; 1) в направлении от этой |
Найти производную функции: z= |
|
− 3 − 1 |
||
точки к началу координат. |
|
|
|
|
решение:
Пусть → – вектор направленный к началу координатной оси, тогда:
∂ |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= ( − − 3 − 1) =2 x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∂ |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= ( |
|
− |
− 3 − 1) =2y − 3 |
− 3 |
|||||||||||||||||||||||
∂ |
||||||||||||||||||||||||||||
Grad(z)| |
|
|
={3;-1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(2;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ = |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть угол между осью ОХ и |
= − |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
Пусть угол между осью О |
|
|
→ = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Y и |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂ |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
=3*(− |
|
|
)-1(− |
|
)=- 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||