Задачи ВА

Задача 8

1.

Найти площадь

параллелограмма,

построенного на

векторах a = m + 2n и

b =

R

R

R

=

R

R

R

2m

+ n , где m и n такие, что

m

n

= 1, (m, n) = 300 .

2.

Даны три силы,

F1 (1, 3, 4), F2

=

(2,

− 2, 3),

F3 = (− 3, 5, 2),

приложенные к точке

6. Построить параллелограмм на векторах

R

a = 2 j + k и b = i + 2k , вычислить его

площадь и высоту.

R

7. Векторы

R

образуют

угол ϕ = π / 6 .

Зная,

что

R

= 6,

= 5 , вычислить

a и b

a

b

R R

.

[a, b]

8. Даны три силы F1 = (2, − 1, 3), F2 = (3, 2, − 1),

F3 = (− 4, 1, 3), приложенные к точ-

ке C(− 1, 4, − 2). Определить величину и направляющие косинусы равнодействую-

щей этих сил относительно точки A(2, 3, − 1).

9. Векторы

R

a и b составляют угол 450 . Найти площадь треугольника, построен-

R

R

R

R

R

=

R

= 5 .

ного на векторах m = a − 2b, n =

3a + 2b , если

a

b

10. Даны

R

=3,

R

=

26,

R R

= 72 . Вычислить

R

a

b

[a, b ]

(a, b).

11. Зная

векторы,

совпадающие со сторонами треугольника AB = (2, 1, − 2) и

BC =(3, 2, 6), вычислить площадь этого треугольника.

R

= 2i + j − k и удовлетворяющий ус-

12. Найти вектор x , коллинеарный вектору a

R

ловию (x, a)= 3 .

13. Векторы p и n

составляют угол 1200 . Найти площадь параллелограмма, по-

строенного на векторах

V

R

R

=

R

=1.

a = 3p − 4n и b = 2p

+ n , если

p

n

18.

R

R

+ b)], если

Найти координаты векторного произведения: [(2a

− b),(2a

R

= 3i

− j − 2k, b = i + 2 j − k .

a

19. Упростить выражение [i , ( j + k )]−[j,(i + k)]+ [k,(i + j + k)].

20. Даны силы P = i − j + k и Q = 2i + j + 3k , приложенные к точке

A(2, − 1, − 1).

R

и b составляют угол в 450 . Найти площадь треугольника, постро-

21. Векторы a

R

R

R R

+ 2b , если

R

=

R

=5 , и его высоту.

енного на векторах m = a

− 2b и n = 3a

a

b

R R

и

22. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах m = a − 2b

R R

R

=

R

= 2,

R

R

n = 3a − b , где

a

b

(a, b)=1200 .

где

R

= 2,

R

= 3,

R R

m

n

(m, n)= 600 .

24.

Упростить (2i , [ j, k])+ (8 j,[i , k])+ (4k,[i , j]).

25. Сила

R

− 3 j + 5k приложена к точке A(5, − 1, 4). Определить момент этой

p = 3i

силы относительно точки B(4, 3, 0) и орт вектора AB .

26.

Найти координаты вектора x , если известно, что он перпендикулярен векто-

рам a1 (4, − 2, − 3) и a 2 (0, 1, 3) , образует с ортом j тупой угол и

R

= 26 .

x

27.

Найти

координаты

вектора

x ,

если он перпендикулярен

векторам

a1 (2, − 3, 1) и

a 2 (1, − 2, 3) , а также удовлетворяет условию (x,( i + 2 j − 7k))=10 .

28. Вектор

m , перпендикулярный к оси

OZ и к вектору a = (8, − 15, 3) , образует

острый угол с осью ОХ. Зная, что

R

= 51,

найти его координаты.

m

29.

Вектор

x перпендикулярен

векторам a1 (2, 3, − 1) и a 2 (1, − 2, 3)

и удовле-

R

+ k))= −6 . Найти координаты x .

творяет условию (x, (2i − j

30.

Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к векторам

a = (2, − 3, 1) и

b = (1, − 2, 3) и удовлетворяет условию

R

(x, ( i + 2 j − 7k))=10 .

30.

A (3, 1, − 1)

B(− 1, − 2, 4)

C ( 7, 0, − 5)

D (1, 2, − 1)

Задача 10

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А, В, С, D,

и найти линейную за-

висимость вектора AB от AC и AD , если это возможно.

1.

A (2, 3, 2)

B(1, 2, 6)

C(0, 3, 2)

D (3, 4, − 2)

2.

A (1, 1, 0)

B(1, − 1, 0)

C (0,0, 1)

D (2, 2, − 1)

3.

A (1, 2, 3)

B(1, − 1, 0)

C(0, 0,1)

D (5, 10, 11 )

4.

A (0, 0,1)

B(2, 1, 0)

C(3, 1, 1)

D (6, 3, − 2)

5.

A (2, 1, 0)

B(− 1, − 3, − 1)

C(0, 1, − 1)

D (5, 5, 1)

6.

A (2, − 2, 1)

B(3, − 1, 0)

C(3, 2, 4)

D (4, 0, − 1)

7.

A (1, 2, 3)

B(− 1, − 2, − 3)

C(0, 0, 1)

D (2, 4, 6)

8.

A (1, 1, 0)

B(2, − 1, 1)

C(− 1, 2, − 1)

D (3, − 3, 2)

9.

A (2, 1, 1)

B(− 1, 2, − 1)

C(2,1, − 1)

D (5, 0, 3)

10.

A (1, 1, 3)

B(2, 0, 4)

C(3, 1, 2)

D (4, − 2, 6)

11.

A (1, 3, 2)

B(1, 2, 3)

C(3, 2, 1)

D (5, 1, 0)

12.

A (− 1, 2, 3)

B(2, 3, − 1)

C(− 1, − 2, − 3)

D (5, 4, − 5)

13.

A (3, 2, 4)

B (0, 3, 2)

C(1, 2, 6)

D (6, 1, 6)

14.

A (1, 2, 6)

B(0, 3, 2)

C(3, 2, 4)

D (2, 1, 10)

15.

A (0, 3, 2)

B(3, 2, 4)

C(2,3, 2)

D (6, 1, 6)

16.

A (1, 1, 4)

B(0, 1, 0)

C(2, 0, 4)

D (2, 0, 4)

17.

A (1, 3, 3)

B(− 1, 0, 0)

C(1, 0, − 1)

D (1, 2, 2)

18.

A (3, − 1, 0)

B(0, 0, 1)

C(1, 0, 1)

D (3, 1, − 1)

19.

A (1, 1, 2)

B(2, 3, 1)

C(3, 1, − 1)

D (4, 7, − 1)

20.

A (1, 1, − 2)

B(3, 1, − 1)

C(− 2, 3, 1)

D (3, 1, − 1)

21.

A (1, 3, 4)

B(2, 3, 4)

C(− 1, 2, − 3)

D (5, 3, 4)

22.

A (0, 0, 1)

B(1, 1, 0)

C(2, 2, 0)

D (4, 4, − 3)

23.

A (2, 1, 1)

B(2, 4, 0)

C(4, 2, 2)

D (2, − 8, 4)

24.

A (− 1, 2, − 2)

B(− 1, 0, 3)

C(− 2, 0, 6)

D(− 1, 4, − 8)

25.

A (1, 3, − 2)

B(2, 0, 1)

C(− 3, 0, 4)

D (3, − 3, 4)

26.

A (1, 2, − 1)

B(3, 1, 5)

C(4, 3, 4)

D (5, 0,11)

27.

A (1, 1, 3)

B(4, 0, 2)

C(5, 1, 5)

D (7, − 1, 1)

28.

A (1, 1, 2)

B(3, 0, 3)

C(4, 1, 5)

D (7, − 2, 5)

29.

A (1, − 3, − 2)

B(3,3, 4)

C(4, 0, 2)

D (5, 9, 10)

30.

A (2,1, 1)

B(4, 1, 5)

C(6, 2, 6)

D (6, 1, 9)