Задачи ВА
.pdf
Задача 3
1. Даны вершины четырехугольника: A (1, 1, − 4), B(− 5, 3, − 5), C (− 3, 1, 2), D (4, 0, 1 ). Доказать, что его диагонали AC и ВD взаимно перпендикулярны.
R |
|
R |
|
+ 3 j + 6k . Вычислить |
2. Даны три вектора: a |
= i − 4 j + 8k , b = 4 i + 4 j − 2k , c = 2i |
|||
R |
|
|
|
|
проекцию вектора (b + c) на вектор a . |
|
|
|
|
R |
|
R |
|
− 4 j + 12k . Вычислить |
3. Даны три вектора: a |
= 3i − 6 j − 6k , b = i + 4 j − 5k , c = 3i |
|||
R |
|
|
|
|
проекцию вектора (a + b) на вектор c . |
|
|
|
|
4. Даны три вектора |
R |
b = i + |
R |
|
силы: a = −2i + j + k , |
5 j , c = 4 i + 4 j − 2k . Най- |
|||
ти работу, совершаемую равнодействующей этих сил при перемещении точки ее
приложения из точки M(3, − 4, 2) |
в точку N(2, 3, − 5). |
|
|
||
R |
(1, |
− 3, 4), |
R |
Вычислить пр R R |
а. |
5. Даны три вектора: a |
b(3, − 4, 2), c(− 1, 1, 4). |
||||
|
|
|
|
(b+c ) |
|
6.Найти угол между биссектрисами углов XOZ и YOZ.
7.Найти проекцию вектора a(2, − 3, 4) на ось, составляющую с координатными
осями равные острые углы.
8.Даны силы f1 = i − j + k, f2 = 2 i + j + 3k . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку A(2, − 1, − 1).
9.Даны вершины четырехугольника: A(− 2, 3, − 4), B(3, 2, 5), C(1, −1, 2),
D(3, 2, − 4). Проверить, будут ли его диагонали взаимно перпендикулярны?
10. Найти проекцию вектора j = (
2, − 3, − 5) на ось, составляющую с координатными осями ОХ, ОZ углы α = 450 , γ = 600 , а с осью ОY – острый угол β .
11.Найти угол между биссектрисами углов XОY и YOZ.
12.Проекции перемещения движущей точки на оси координат равны Sx = 2 ,
Sy = 1, Sz = −2 . Проекции движущей силы F на оси координат равны Fx = 5; Fγ = 4;
Fz = 3 . Вычислить работу силы F и угол между силой F и перемещением S. 13. Даны точки: A(− 2, 3, − 4), B(3, 2, 5), C(1, − 1, 2), D(3, 2, − 4). Найти
пр( )(AB + AD).
АС+DB
14. Найти проекцию вектора S(4, − 3, 2) на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
15. К одной и той же точке приложены силы P и Q , действующие под углом
1200 , причем |
R |
= 7 |
и |
R |
= 4 . Найти равнодействующую сил R . |
P |
Q |
||||
|
|
|
|
|
|
16. Вычислить, какую работу производит сила F(6, − 2, 1), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A (3, 4, − 2) в положе-
ние B(4, − 2, − 3).
17. Даны силы f1 = 5i + 3 j − 7k, f2 = 3i + 6 j − 4k, f3 = 12 i − j + 15k .Найти вели-
21
чину и направление равнодействующей силы R и работу, которую она совершает, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора S(2, − 5, − 7).
18. Силы f1 = 4 i + 7 j + 3k и f2 = 3i − 5 j + k приложены к одной точке. Найти
работу, которую производит равнодействующая этих сил при прямолинейном перемещении из точки M1 (5, 3, − 7) в точку M 2 (4, − 1, − 4).
19. Даны векторы |
R |
b = i + 4 j − 5k, |
R |
+ 4 j + 2k . Найти проек- |
a = 3i − 6 j − k , |
c = 3i |
|||
цию вектора (a + c) |
R |
|
|
|
на вектор (b + c). |
|
|
||
20. Даны силы F1 = 2 i + j − k , F2 |
= 3i + 2 j + 2k , |
F3 = −5i + j + 3k , приложенные |
||
к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно и равномерно, перемещается из положения K (− 1, 3, − 7) в положение B(2, − 1, 5).
21. Вычислить, какую работу производит сила f (3, − 5, 2), когда ее точка прило-
жения перемещается из начала в конец вектора S(2, − 5, − 7).
22. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на
R |
(2, 1, 0) и b(0, |
− 1, 1). |
векторах a |
23. Даны силы f1 (3, − 4, 2), f2 (2,3, − 5), f3 (− 3, − 2, 4), приложенные к одной точке.
Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения C (5,3, − 7) в по-
ложение B(4, − 1, 4).
24. |
R |
− 1, 2) и |
b(2, − 2, 1) |
. Найти проекцию вектора |
R R |
− b |
на |
Даны векторы a(1, |
c = 3a |
||||||
направление вектора b . |
|
|
|
|
|
|
|
25. |
На материальную |
точку |
действуют |
силы f1 = 2 i − j + k , f2 = − i + 2 j + 2k , |
|||
f3 = i + j − 2k . Найти работу равнодействующий этих сил R при перемещении точки из положения A(2, − 1, 0) в положение B(4, 1, − 1).
26. Найти проекцию вектора a = 10m + 2n на ось, имеющую направление вектора
R |
R |
Вычислить углы |
|
b = 5m |
− 12n , где m и n - взаимно перпендикулярные орты. |
||
между осью проекций и единичными векторами m и n . |
|
|
|
27. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки |
A(3, − 3) рав- |
||
но пяти. |
|
A (1, − 4, 7) и |
|
28. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек |
|||
B(5, 6, − 5) .
29. Даны вершины треугольника: A (3, − 1, 5), B(4, 2, − 5 ) и С(− 4, 0, 3 ). Найти
длину медианы, проведенной из вершины А.
30. Треугольник задан координатами своих вершин А(3, − 2, 1), В(3, 1, 5 ), С(4, 0, 3 ).Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
22
Задача 4
1. |
Даны три вектора: |
R |
= 2i − j + 3k, b = i − |
R |
|
a |
3 j + 2k , c = 3i + 2 j − 4k . Найти век- |
||||
тор |
|
|
R R |
R |
R R |
x , удовлетворяющий условиям (x,a ) = −5, |
(x, b)= −11, |
(x, c)= 20 . |
|||
2. Дан вектор b(1, 0, 1). Найти вектор c единичной длины, перпендикулярный оси OZ и образующий с вектором b угол π / 4 .
Даны два вектора R( ) ( ) Найти вектор единичной длины пер
3. : a 1, 1, 1 , b 1, 0, 0 . c , -
пендикулярный вектору a , образующий с вектором b угол π / 3 и с осью OY тупой угол.
4. В плоскости XOZ найти вектор a , перпендикулярный вектору b (4, 12, − 3) |
и |
|||
имеющий одинаковую с ним длину. |
|
|
|
|
5. В плоскости XOZ найти вектор p , перпендикулярный вектору q(5, − 3, 4) |
и |
|||
имеющий одинаковую с ним длину. |
a(3, − 4, − 12), образует с осью OY острый |
|||
6. Вектор p , коллинеарный вектору |
||||
угол. Найти координаты вектора p , если |
|
R |
= 39 . |
|
|
p |
|
||
7. Вектор x , коллинеарный вектору a(6, - 8, - 7, 5), образует острый угол с осью
OZ. Зная, что |
|
R |
|
=50 , найти его координаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
8. Даны три вектора: a(4, 3, − |
2), b(6, 5, 1), c(2, − 3, 0). Найти вектор x , перпенди- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
R |
|
кулярный вектору c и удовлетворяющий условиям (a, x)= 4 и |
(b, x)= 35 . |
|
||||||||||
9. Найти вектор x , перпендикулярный векторам |
R |
b = 2 j − k , |
если из- |
|||||||||
a = i + k, |
||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вестно, что (x,(2 i + 4 j + 6k))=9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
R |
R |
Найти вектор d , образующий с |
||||||
10. Даны три вектора: a(1, 1, 1), |
b(8, 4, 1), c(2, 2, 1). |
|||||||||||
осью OY острый угол, а с вершинами b и c равные углы, если |
|
R |
|
R |
R |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
d |
|
=1, d a . |
|||||||||
11. |
Найти вектор x , коллинеарный вектору a(2,1 -1) и удовлетворяющий усло- |
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
вию (x × a )=3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
Вектор x , перпендикулярный к векторам a = 3i + 2 j + 2k и b = 18i − 22 j − 5k , |
|||||||||
образует с осью OY тупой угол. Найти его координаты, зная, что |
|
R |
|
=14 . |
||||||
|
|
|||||||||
|
x |
|
||||||||
13. |
|
|
|
R |
(4, 0, 3) и b(11, 10, 2). Найти третий вектор, длина которо- |
|||||
Даны два вектора a |
||||||||||
го равна единице, и известно, что он составляет с осью OY острый угол и перпен- |
||||||||||
|
|
|
|
|
R |
и b . |
|
|
|
|
дикулярен к векторам a |
|
|
|
|
||||||
14. |
|
|
|
R |
|
при условии, что |
||||
Даны два вектора: a(3, − 1, 5) и b(1, 2, − 3). Найти вектор x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
R |
он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям: (x, a )=9 и (x, b)= −4 . |
||||||||||
15. |
|
Даны два вектора: |
R |
|
|
|
|
|||
|
a(8, 4, 1) и b(2, − 2, 1). Найти третий вектор d , такой, |
|||||||||
что |
R |
R |
R |
R R |
|
|
|
|
|
|
d |
=1, d a , d b . |
|
|
|
|
|
||||
23
|
16. Найти вектор x , такой, что |
|
R |
|
=1, |
R |
R |
R |
|
R |
(i − j − 4k))= 0 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
x a, |
a = (1, 1, 1), |
(x, |
|
||||||||||||||
|
17. Найти |
вектор x , |
зная, что |
|
он |
перпендикулярен |
к векторам |
a(2, 3, − 1) |
|||||||||||||
и b(1, − 2, 3) и удовлетворяет условию |
R |
− j |
+ k))= − 6 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
(x (2i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
18. Даны два вектора: |
R |
|
|
и |
b(4, 0, 3). Найти |
вектор c , |
такой, |
что |
||||||||||||
|
a(11, 10, 2) |
||||||||||||||||||||
|
R |
|
R |
R |
R |
b и угол между вектором c и осью OY – |
тупой. |
|
|
||||||||||||
|
c |
= 1, c a, |
c |
|
|
||||||||||||||||
19. |
|
Даны |
|
векторы |
R |
(1, 0, 0) и b(1, 1, 1). |
Найти |
такой |
вектор |
c , |
что |
||||||||||
|
|
a |
|||||||||||||||||||
|
R |
|
R |
|
R |
R |
и угол между вектором и осью OY – острый. |
|
|
||||||||||||
|
c |
=1, c |
b, (c, a ) = π / 3 |
|
|
||||||||||||||||
|
20. В плоскости YOZ |
найти вектор m , перпендикулярный вектору n(12, − 3, 4) |
|||||||||||||||||||
имеющий одинаковую с ним длину. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
21. |
Даны три вектора |
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
единичной |
||||||
a |
(8, 4, 1), b(2, 2, 1), c (1, 1, 1). Найти вектор d |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
и b |
равные углы, перпендикулярный вектору |
||||||||
длины, образующий с векторами a |
|
||||||||||||||||||||
cи направленный так, что образует угол с осью OY тупой угол.
22.В плоскости XOY найти вектор p , перпендикулярный вектору q (5, − 3, 4) и
R |
(0,1,1) и b(1,1,0). Найти вектор c единичной длины, пер- |
имеющий одинаковую : a |
пендикулярный к вектору a , образующий с вектором b угол π / 4 и с осью OZ тупой угол.
23. |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
b(1, 1, 0) . Найти вектор с единичной длины, |
||||||||||
Даны два вектора: а(0,1,1) и |
||||||||||||||||||||
перпендикулярный к вектору а, образующий |
|
с вектором b угол π / 4 и с осью OZ |
||||||||||||||||||
тупой угол. |
|
|
|
|
R |
− 2, 4), |
b(5, 1, 6), |
|
R |
|
|
|
|
|||||||
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Даны три вектора: a(3, |
|
c(− 3, 0, 2). Найти вектор x , удовле- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
R |
R |
S |
|
|
|
|
|||||
творяющий условиям (a, x)= 4, (b, x)=35, (c, x)= 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
25. |
Найти вектор x , перпендикулярный к векторам |
R |
= i |
+ k и b = 2 j − k , если |
||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||
прсR |
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 1, где |
c = i + 2 j + 2k . |
a = 3m − 4n , зная, что, m |
|
|
|
|
||||||||||||||
26. |
Найти длину вектора |
и |
n |
- взаимно перпендику- |
||||||||||||||||
лярные орты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
27. |
Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|||||||||||||||||||
R |
R |
R |
|
|
R |
R |
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
R R |
||||
|
|
= 2 2, |
=3 |
|||||||||||||||||
a = |
5p |
+ 2q и |
|
b = p − |
3q , если известно, что |
p |
q |
и (pq) = π / 4 . |
||||||||||||
28. К одной и той же точке приложены две силы P и Q , действующие под углом |
||||||||||||||||||||
1200 , причем |
|
R |
= 7 и |
|
R |
= 4 . Найти величину равнодействующей силы R . |
||||||||||||||
|
P |
|
Q |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. Найти равнодействующую пяти компланарных сил, равных по величине и приложенных к одной и той же точке, зная, что углы между каждыми двумя по-
следовательными силами равны 720 .
|
R |
|
R |
|
R R |
|
30. Вычислить угол между векторами |
a |
= 3p |
+ 2q |
и |
b = p + 5q , где p |
и q - еди- |
ничные взаимно перпендикулярные векторы.
24
Задача 5
1. Даны разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум вза-
|
|
R |
R |
|
R |
R |
R |
|
R |
|||
имно перпендикулярным ортам: AB = 5a |
+ 2b, BC = |
2a |
− 4b, |
CA = −7a |
+ 2b . Вы- |
|||||||
числить длину медианы AM. |
a = 10m + 2n на ось, имеющую направление |
|
||||||||||
2. Найти проекцию вектора |
векто- |
|||||||||||
R |
R |
- взаимно перпендикулярные орты. Вычислить углы |
||||||||||
ра L = 3m |
− 12n , где m и n |
|||||||||||
между осью проекций и единичными векторами m и |
n . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Векторы a и b образуют, угол ϕ = π / 6 , зная, что |
|
a |
|
= 3 , q = a − b . |
|
|
||||||
4. Найти угол между |
диагоналями |
параллелограмма, построенного на векто- |
||||||
рах |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
и |
R |
a |
= m + 2n, b = 2m |
+ n, где |
m |
n - единичные векторы с углом между ними |
||||
π/ 3 .
5.Дан треугольник с вершинами A(− 1, 5, 1), B(1, 1, − 2), C(− 3, 3, 2). Определить
его внешний угол при вершине С.
|
6. |
Зная |
векторы, |
образующие |
треугольник: |
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
R |
R |
|||||||||
|
AB = 2a |
− 6b, |
BC = a + 7b, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
R |
где |
R |
и b взаимно перпендикулярные орты - |
определить углы этого |
|||||||||||||||||
CA = −3a − b , |
a |
||||||||||||||||||||||||
треугольника. |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R R |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
причем |
R |
= 2, |
|
|
|
|
Определить |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
7. Даны векторы: OA = a, OB = b, |
a |
|
b |
|
= 4, (a, b)= 600 . |
|||||||||||||||||||
угол между медианой OM треугольника АОВ и стороной OA . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
8. Определить угол между |
диагоналями параллелограмма, построенного |
на |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
= 2 |
|
|
|
R |
=3, |
(p,q)= π / 4 . |
|
векторах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
||||||||||||
a = 5p + 2q и b = p − 3q , если известно, что |
p |
|
q |
||||||||||||||||||||||
|
9. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного |
на векторах |
|||||||||||||||||||||||
R |
R |
|
R |
|
R |
R |
m |
и n - |
единичные векторы, с углом между ними π / 6 . |
||||||||||||||||
a |
= m + 2n b = 2m |
− n , где |
|||||||||||||||||||||||
|
10. |
Даны вершины |
четырехугольника: A(1, − 2, 2), B(1, 4, 0), C(− 4, 1, 1), |
|
|||||||||||||||||||||
D(− 5, − 5, 3). Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
11. |
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах |
|||||||||||||||||||||||
R |
|
R |
R |
|
R |
R |
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
угол между которыми |
|||||||
a |
= 2m |
+ n |
и b = m − |
2n, где |
m и |
n - единичные векторы, |
|||||||||||||||||||
π / 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|||
|
12. |
|
Определить, |
при |
каком |
значении |
α |
векторы |
|
|
− 3 j + 2k |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
a = α i |
|||||||||||||||||||||
b = i − 2 j − αk взаимно перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
и t , если известно, что векторы |
||||||||||||
|
Какой угол образуют единичные векторы s |
||||||||||||||||||||||||
R |
R |
+ 2 t |
R |
R |
− 4 t взаимно перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
p = s |
и q |
= 5s |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
14. |
Даны вершины треугольника: A(1, 2, 1), B(3, − 1, 7), C(7, 4, − 2). Используя |
|||||||||||||||||||||||
скалярное произведение, убедиться, что этот треугольник равнобедренный. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
15. |
Даны вершины треугольника: A(3, 2, − 3), B(5, 1, − 1), C(1, − 2, 1). Определить |
|||||||||||||||||||||||
его внешний угол при вершине А.
25
|
16. |
Найти |
длины |
|
диагоналей |
параллелограмма, |
построенного |
на |
векторах |
||||||||||||
R |
R |
R |
|
R |
R |
R |
R |
единичные |
векторы, угол |
между |
которыми |
||||||||||
a |
= m − 2n , b = 3m |
− n , где |
m и |
n - |
|||||||||||||||||
π / 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
R R |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
где |
и |
|||||
|
17. Вычислить угол между векторами a |
= 3p |
+ 2q и |
b = p + 5q, |
p |
q - еди- |
|||||||||||||||
ничные взаимно перпендикулярные векторы. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
R |
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
18.Зная, что |
|
a |
= 2, |
|
b |
|
=5 |
и (a , b)= |
|
π , определить, при каком значении |
коэффи- |
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3d − b окажутся перпендикулярными. |
|||||||||||
циента α векторы p |
= αa + 17b и q |
||||||||||||||||||||
19. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
R |
R |
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
R |
= 2 |
|
|
|
R |
= −3, |
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
||||||||||||
a = 5p |
+ 2q и |
b = p − |
3q , если известно, что |
|
p |
|
q |
(p,q)= π / 4 . |
|||||||||||
20. |
Дан треугольник |
A(− 3, − 2, 1), B(3, 0, 2) и |
C(1, 2, 5). Найти его внутренний |
||||||||||||||||
угол ϕ1 при вершине А и внешний угол ϕ2 |
при вершине В. |
|
|
||||||||||||||||
21. Какой угол в треугольнике с вершинами A(1, 2, 3), B(4, − 1, 3), C(5, 4, − 4) пря- |
|||||||||||||||||||
мой? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
Дан вектор a = 2m − n , где m и n - единичные векторы с углом между ними |
||||||||||||||||||
1200 . Найти |
cos(a, m), cos(a, n). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
R |
|
|
R |
R |
R |
R |
||
23. Найти угол между векторами a |
= 2m |
+ 4n, b = m − n, где m и |
n - единичные |
||||||||||||||||
векторы, образующие угол 1200 . |
|
|
A(1, 2, 3), B(7, 3, 2), C(− 3, 0, 6), |
||||||||||||||||
24. |
Даны вершины четырехугольника |
||||||||||||||||||
D(9, 2, 4). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны. |
|
||||||||||||||||||
25. |
Определить длины диагоналей |
параллелограмма, |
построенного на векто- |
||||||||||||||||
|
R |
R |
R |
R |
R |
R |
и |
R |
единичные векторы, угол между кото- |
||||||||||
рах a |
= 2m + n и b = m |
− 2n , где |
m |
n - |
|||||||||||||||
рыми 600 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26. |
Доказать, что четырехугольник с вершинами A(−3, 5, 6), B(1, − 5, 7), |
||||||||||||||||||
C(8, − 3, − 1) и D(4,7, − 2) - квадрат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
27.Найти косинус угла ϕ между диагоналями (АС) и (ВD) параллелограмма, ес-
ли заданы три его вершины A(2, 1, 3), B(5, 2, − 1), C(− 3, 3, − 3).
28.Вычислить работу силы F = i + 2 j + k при перемещении материальной точки из положения А(-1, 2, 0) в положение В (2, 1, 3).
29. Даны векторы |
R |
и b (1, − 1) . Найти |
косинус |
угла |
между векторами |
|||
a(1, 1) |
||||||||
x и y , удовлетворяющими системе уравнений |
R |
R |
R |
R |
R |
= b . |
||
2x |
+ y = a, x + 2y |
|||||||
RR
30.Векторы a, b и c имеют равные длины и образуют попарно равные углы.
Найти координаты вектора |
R |
= i + j , b = j + k . |
c , если a |
26
Задача 6
1. Треугольник АВС – равнобедренный, AB = BC, AC = 6, BD - высота, e - еди-
ничный вектор в направлении АС Найти скалярные произведения × R С × W
. AB e, B e .
R
2. Длины векторов a и b равны соответственно 8 и 9, а угол между ними 1500 .
Найти скалярные квадраты векторов и их скалярное произведение.
3. Найти длину вектора a = 3m − 4n , зная, что m и n - взаимно перпендикулярные орты.
4. |
Упростить |
|
выражение |
|
R |
|
+ |
R |
R |
R R |
|
|
R |
|
R |
R |
R |
R |
|||||||||||
|
|
a |
2 |
3(a |
× b)- |
2(b × c)+ 1, если |
a = 4m |
- n , b = m + 2n , |
|||||||||||||||||||||
c = |
2m − 3n , где |
|
R |
|
= 4, |
|
n |
|
=1, |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
2 |
|
2 |
(m , n) = p/ 2 . |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
R |
и b |
образуют угол ϕ = 2 / 3π . Зная, что |
|
R |
= 3 , |
|
|
|
|
= 4 , вычислить |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Векторы a |
|
a |
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||
((3a + 2b)(, a - 2b)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
R |
|
|
|
образуют угол ϕ = 2 / 3 |
π . Зная, что |
R |
=11 и |
|
R |
|
=2 , |
вычислить |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Векторы a и b |
a |
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||
((2a + 3b), (2a - b)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Дан равносторонний треугольник АВС, длина сторон которого равна единице. |
||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить выражение (AB, BC)+(BC,CA)+ (CA, AB). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. |
В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС катет равен 5 см. Найти |
||||||||||||||||||||||||||||
скалярное произведение AC и AB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
Даны точки A(− 1, 3, − 7), B(2, − 1, 5) и |
C(0, 1, − 5). Вычислить |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(2AB - CB)× (2BC + BA). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
R |
и b взаимно перпендикулярны, а вектор c |
||||||||||||||
10. Векторы a |
|||||||||||||||
равные π / 3 . Зная, что |
R |
= |
R |
= 2, |
R |
=1, найти |
R |
R |
R |
2 |
|
|
|||
a |
b |
c |
(a |
+ b + c) . |
|
||||||||||
11. Вычислить |
значение выражения |
3 |
R |
|
|
R R |
|
R |
2 , |
||||||
m |
2 - 2(m, n)+ 4 |
n |
|||||||||||||
R |
(m, n) = π / 3. |
n = 6, |
образует с ними углы,
если |
R |
=1/ 3, |
m |
12. Векторы |
R |
и b |
|
взаимно перпендикулярны; вектор c |
образует с ними углы, |
||||||||||||||||||||
a |
|
||||||||||||||||||||||||
равные π / 2 . Зная, что |
|
|
R |
= |
3, |
|
|
R |
|
=5, |
R |
= 8 , |
R |
R |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
b |
|
c |
вычислить ((3a - 3b)× (b + 3c)). |
|
|
|||||||||||||||
13.Векторы |
R |
R |
|
попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых |
|||||||||||||||||||||
a, b, c , |
|
||||||||||||||||||||||||
равен 600 . Зная, что |
|
R |
|
= 4, |
|
R |
|
= 2, |
|
R |
|
= 6 , |
|
|
R R |
R |
|||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
определитель модуля вектора |
||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
c |
|
p = a |
+ b + c . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Найти модуль вектора a = 2m − n, где m и n - единичные векторы, угол между которыми равен π / 3 .
R |
взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с ними углы, |
|||||||||||
15. Векторы a и b |
||||||||||||
равные π / 3 . Зная, что |
R |
= |
|
R |
|
= 2, |
R |
=1, |
R |
R |
R |
|
|
|
|||||||||||
a |
|
b |
|
c |
найти ((2a |
- b),(c - a )). |
||||||
16. Даны векторы |
R |
R |
|
|
|
|
|
R |
R |
|||
a, b, c , удовлетворяющие условию a |
+ b + c = 0 . Зная, что |
|||||||||||
27
|
R |
= 3, |
|
R |
|
=1, |
|
R |
|
=4, вычислить |
R |
|
|
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
b |
|
|
c |
|
(a × b) +(b × c) +(c |
× a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
В равнобедренном треугольнике АВС |
|
AB |
|
= |
|
BC |
|
|
=10, AC = 8, BD - высота. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти скалярное произведение (AB × AC). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = |
2 |
p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
=3, |
|
R |
|
=4, вычислить |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
18. |
Векторы |
a |
и b |
образуют угол |
|
|
Зная, что |
|
|
|
a |
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
((3a - 2b), (a + 2b)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. Треугольник АВС – |
равносторонний, со стороной, равной шести. BD - высо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
та. Найти скалярные произведения |
(AB, AD), (AD, DB), (AD, CB). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20. Векторы |
R |
и b |
|
|
|
образуют угол π / 3 . Зная, что |
|
|
R |
|
= 3, |
|
R |
|
=4 , найти длину векто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ра c = 3a + 2b . |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21. |
Даны: |
R |
|
=12, |
|
|
|
= 20, |
|
R |
|
= 25 . Вычислить |
|
R |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
b |
|
|
|
a + b |
|
|
a |
- b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Даны три вектора: a (3, - 2), b (- 5, -1), c (0, 4). Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2(a, b)× c - 3b2 |
× a |
+(a, c) × b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
23. |
ABCDEF-правильный шестиугольник со стороной, равной четырем. Найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(AB, CD). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС проведены медианы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AN и BM из вершин острых углов. Вычислить угол ϕ между ними. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Даны три вектора: a |
(3, - 2), b (- 5, 1), c(0, 4). Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3a 2 - 4(ab)+ 5(bc)- 6(bc)- |
2c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
26. |
Даны точки А(2, 2) |
и В(5, -2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AMB = π / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
= |
=1 и |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
27. |
Вычислить прR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
R (2a - b) , если |
|
a |
|
(a, b) = 1200 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
+b |
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Известно, что AB = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 и |
e2 - взаимно пер- |
|||||||||||||||||||||||||||||
28. |
2e1 |
- 6e2 |
|
и |
|
AC = 3e1 |
+ e2 , |
где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пендикулярные орты. Определить углы треугольника АВС.
29. Найти угол, образованный единичными векторами e1 и e2 , если известно,
R |
R |
R |
|
R |
R |
перпендикулярны. |
что векторы a |
= e1 |
+ 2e2 |
и |
b = 5e1 |
- 4e2 |
30. Найти угол α при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.
28
Задача 7
1. Даны вершины треугольника A(1, − 1, 2), B(5, − 6, 2), C(1,3, − 1). Вычислить вы-
соту, опущенную из вершины В на сторону АС.
2. Даны точки A(1, 2, 0), B(1, 0, 3) и C(5, 4, 6). Вычислить площадь треугольника
АВС.
3. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2m − n и 4m − 5n , где m и n - единичные векторы, образующие угол π / 4 .
|
|
|
R |
и |
|
4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах p = 2i + 3 j |
|||
R |
|
|
|
|
q = i − 4 j , где i и j - взаимно перпендикулярные орты. |
|
|||
|
5. |
R |
R R |
|
|
Построить векторы a = 3k − 2 j, b = 3i |
− 2 j, c = [a, b]. Вычислить модули векто- |
||
|
|
|
R |
|
ра c и площадь треугольника, построенного на векторах a и b . |
|
|||
R |
6. |
Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах |
||
= k − j, b = i + j + k . |
|
|
||
a |
|
|
||
|
7. |
Построить треугольник с вершинами A(1, − 2, 8), B(0, 0, 4), C(6, 2, 0). Вычис- |
||
лить его площадь и высоту BD.
8. Даны |
R |
=10, |
|
R |
|
= 2, |
R R |
|
R R |
|
. |
|
|
|
|
||||||||
a |
|
b |
|
(a, b)=12 . Вычислить |
|
[a, b] |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Сила p = {2, 2, 9} приложена к точке A(4, 2, − 3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки C(2, 4, 0).
10. |
Вычислить площадь треугольника с вершинами |
A(7, 3, 4), B(1, 0, 6), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(4, 5, − 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
R |
|
b образуют угол ϕ = 2π / 3 . Зная, что |
R |
=1, |
|
|
= 2 , вычислить |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Векторы a и |
|
a |
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
R |
R 2 |
|
R |
R |
|
R |
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) [(2a |
|
+ b), (a |
+ 2b)] ; |
б) [(a + 3b),(3a − b)] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12. |
|
R |
|
b взаимно перпендикулярны. Зная, что |
|
|
R |
=3, |
|
= 4, |
вычислить: |
|||||||||||||||||||||||||
Векторы a и |
|
|
|
a |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
R |
R |
|
|
R |
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
− b)] |
; |
б) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
[(a |
|
+ b), (a |
[(3a |
− b), (a − 2b)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13. |
Даны три силы |
F1 ={2, − 2, 3}, F2 ={1, 3, 4 }, F3 ={− 3, 5, 2 }, |
приложенные к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точке M1 (3, 1, 2). Найти момент равнодействующей этих сил относительно точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M2 (1, − 2, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Найти площадь параллелограмма и его высоту, если известно, что диагоналя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми параллелограмма служат векторы |
R |
R |
|
R |
|
R |
|
|
|
R |
|
|
где |
|
R |
= |
R |
= 1, |
||||||||||||||||||
a |
= 3n |
− n, b = |
2n + 4m, |
|
|
m |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
(m, n) = π / 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 3p + q , |
|||
15. |
Найти |
площадь треугольника, |
построенного |
на |
векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n = p + 2q , где |
|
R |
= |
R |
= 2, |
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p |
q |
(p, q) = π / 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16. |
Найти |
высоту |
треугольника, |
построенного |
на |
|
|
векторах p = 2m − n и |
||||||||||||||||||||||||||||
q = m − 4n , где |
|
R |
|
= |
R |
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m |
|
n |
|
= 2, (m, n) = 1200 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
29
17. Вычислить |
|
|
R |
|
R |
|
R |
|
R |
|
|
R |
b , |
R |
= 3, |
|
R |
= 4 . |
|||||||||||||
|
[(5a |
− b ), (a − |
2b)] |
, если a |
a |
|
b |
||||||||||||||||||||||||
18. |
Найти площадь и высоту треугольника, построенного на векторах |
||||||||||||||||||||||||||||||
R |
R |
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
= |
|
R |
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
m = 3a − 2b и |
n |
= a + b , где |
a |
|
|
b |
|
= 1, (a, b) = 1200 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
19. |
Вычислить площадь и высоту параллелограмма, если его диагоналями слу- |
||||||||||||||||||||||||||||||
жат векторы 2m − n |
и 4m − 5n , где |
|
R |
= 2, |
R |
|
= 3, |
R |
R |
|
|||||||||||||||||||||
|
m |
n |
|
(m, n) = 600 . |
|||||||||||||||||||||||||||
20. Векторы |
R |
и b |
взаимно перпендикулярны, а вектор c |
образует с ними углы, |
|||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||
равные π / 3 . Зная, что |
|
|
= |
R |
= 2, |
|
|
|
=1 , найти |
[(2a − b)(, c − b)]. |
|
||||||||||||||||||||
|
a |
b |
c |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = (1, 2, 0) и |
|||||||||||||||||||
Вычислить момент |
равнодействующей |
|
двух |
|
сил |
||||||||||||||||||||||||||
q= (− 1,0,1), приложенных к точке A(0, 2, 0), относительно начала координат.
22.Даны точки A(3, − 2, 3), B(2, 3, − 1) и C(4, 1, 2). Найти координаты векторно-
го произведения [(BC − 2CA ), CB].
23. Сила F = 3i + 2 j − 4k приложена к точке M (2, − 1). Найти величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.
|
R |
|
приложена к точке M(1, 2, 3). Найти величину и направ- |
||||||
24. Сила p = i + j + 4k |
|||||||||
ляющие косинусы момента этой силы относительно точки A(3, 2, − 2). |
|||||||||
25. Зная две стороны треугольника |
R |
R |
R |
R |
|
||||
AB = 3p − 4q |
и BC = p + |
5q , вычислить длину |
|||||||
|
при условии, что p |
и q - взаимно перпендикулярные орты. |
|||||||
его высоту |
CD |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
26. |
Вычислить площадь параллелограмма, |
построенного |
на векторах |
||||||
R |
R |
R |
R |
= 5, n = 3 |
и |
(m n) = π / 6 . |
|
|
|
AB = m + 2n и |
AD = m − 3n , где m |
|
|
||||||
27. Зная две стороны треугольника |
R |
R |
R |
R |
вычислить дли- |
||||
AB = 3p |
− 4q |
и BC = p + 5q , |
|||||||
ну его высоты CD при условии, что |
p и q - перпендикулярные друг другу орты. |
||||||||
28. |
Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на |
|||||||
|
R |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
m, n и p - взаимно пер- |
данных векторах: a |
= 2m |
+ n |
− p |
и b = m − 3n |
+ p , где |
|||
пендикулярные орты. |
|
|
|
|
|
|
||
29. |
Даны силы: F1 (2, − 1, − 3), |
F2 (3, 2, − 1) |
и |
F3 (−4, 1, 3) , приложенные к точке |
||||
A(−1, 4, 2) . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодейст- |
||||||||
вующей этих сил относительно точки O (2, 3, − 1) . |
|
|||||||
30. |
Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы |
|||||||
2e1 − e2 и 4e1 − 5e2 , где |
e1 |
и |
e2 - единичные векторы и |
(e1 , e2 ) = π / 4 . |
||||
30