Задачи ВА

1.

Вычислить скалярное произведение двух векторов

(p,q) , зная их разложение

по

трем

единичным взаимно перпендикулярным

векторам

R

R

a, b и

c :

R

R

R R R

R

p =3a + b − 2c ; q = a − 4b

− 5c .

2.

Найти длину вектора

a = 3m − 4n , зная, что m и

n – взаимно перпендику-

лярные орты.

600 . Зная, что

R

= 4,

R

= 2

R

= 6 ,

R

R

R

вен

b

и

a

c

определить модуль вектора p

= a

+ b + c .

R R

R

R

a(a, b)

4. Доказать, что вектор p

= b

−

R

перпендикулярен к вектору a .

R

a 2

5.

Даны векторы

и

R

совпадающие со сторонами треугольника

AB = b

AC = c ,

R

совпадающего с его высотой BD по базису b, c .

R

R

+

R

и

R R

и q - еди-

6. Вычислить угол между векторами a

= 3p

2q

b = p + 5q , где p

ничные взаимно перпендикулярные векторы.

7. Даны силы M ={3, − 4, 2 }, N ={2,3, − 5 }

и

P ={− 3, − 2, 4 }, приложенные к од-

10.

Найти

вектор

u ,

зная,

что

он

перпендикулярен

векторам

R

{− 2, 0, 1}, b{1, 2, 3 } и

R

где

c{1, − 1, 0 }.

a

(u, c) = 3,

11.

Найти вектор u , коллинеарный вектору a {1, 2, 3 } и удовлетворяющий усло-

вию

R

где c{− 1, 0, 1}.

(u, c) =5 ,

12. Вычислить проекцию вектора a ={5, 2, 5 }

на ось вектора b ={2, − 1, 2 }.

13.

Даны векторы

R

b ={3, − 4, 2 }

R

Вычислить

a ={1, − 3, 4 },

и c ={− 1, 1, 4 }.

14. Даны точки M (−5, 7, − 6)

и N (7, − 9, 9) .

Вычислить проекцию вектора

a ={1, − 3, 1} на ось вектора MN .

Ответы к задачам

4) α = 40 .

1) -7, 13. 2) 15,

593 .

6) arccos1/

5 .

7) 2. 8) -1/3.

9) (− 2 / 3, 3 / 4, 3 / 2). 10) (− 14 / 3, − 14 / 3, − 7 / 3).

11) 900 ,arсrсс j2 = -1/

.

2

12) j =1200 , D(-1,1,1) .

13) (0,0,14 / 9).

Ответы к домашнему заданию

R

(b, c) R

R

1)

9. 2) 5. 3) 10.

5)

c - b . 6) π / 4 . 7) 13. 8) π / 4 .

R

2

c

10)

R

13) 5.

14) 3.

u = (5 / 2,5, 15 / 2). 12) 6.

R R

и от него к с, човершающимся против часовой стрел-

му началу векторами a, b, c

ки (по часовой стрелке)

с

b

с

a

a

b

Тройка правая

Тройка левая

R

длина и направление которого определяются условиями:

вектор [a, b],

1.

R R

=

R

×

R

R

и b .

[a, b]

a

b

sin j , где ϕ - угол между a

R

R

R

2. [a, b

]^a ,

[a, b ]^b .

R

R

1. [a, b ]= −

[b, a] (свойство антиперестановочности сомножителей);

2.

R

R

R R

R

[a

+ b, c]= −[a, c]+ [b, c] (распределительное относительно суммы векторов);

3.

R

R

[αa, b ]= α [a, b] (сочетательное относиельно числового множителя);

4.

R

R

R

R

(равенство нулю векторного произведения означает коллине-

[a, b ]= 0

a

b

R

R

R

R

i

j

k

R

R

a1

a 2

a 3

.

Если вектор a

= (a1 ,a 2 ,a 3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), то [a, b]=

b1

b2

b3

Определение

3.

R R

трех векторов называется

Смешанным произведением (a, b, c)

R

R

R

R

Если векторы заданы

число, определяемое следующим образом: (a, b, c)= ([a, b

], c).

R

= (a1 ,a 2 ,a 3 ), b = (b1 , b2

, b

R

своими координатами: a

3 ), с= ( с1 ,с2 , с3 ), то

R R

a1

a 2

a 3

b1

b2

b3

.

(a, b, c) ~

c1

c2

c3

R R

явля-

1. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов a, b, c

R R

ется равенство (a, b, c) = 0.

c = (c1 ,c2 ,c3 ): V =

R R R

(a, b, c )

.

Примеры решения задач

R

R

− 4b)], если

Задача 1. Найти координаты векторного произведения [(2a

− 3b),(2a

R

= 3i − j + 2k , b = 2i − j + k .

a

R

= (0, 1, 1)

и

R

Решение. Найдем 2a − 3b

2a − 4b = (− 2, 2, 0). Векторное произведе-

R

R

R

i

j

k

R

R R

ние, по определению, равно

0

1

1

= − 2 i

− 2 j + 2k .

− 2

2

0

Задача 2. Силы

F1 = -2i - j + 5k

и

F2 = 3i + 5 j - k приложены к точке

A(3, 4, − 1). Вычислить величину момента

равнодействующей этих сил R относи-

тельно точки B(1, 3, 0).

Решение. Найдем силу R и плечо d :

R = i + 4 j + 4k, d = -2i - j + k . Момент

сил

M вычисляется по формуле

R

R

R

R

R R

i

j

k

R

R R

M =

[R,d]=

1

4

4

=8i

- aj + 7k , а его модуль

M

= 64 + 81 + 49 = 194 .

- 2

-1

1

AB = (-1, -1, -1), AC = (0, -1,0), AD = (-1, - 2,0).

V = (AB ×AC × AD)=

-1

-1

-1

Объем этого параллелепипеда

0

-1

0

=1.

-1

- 2

0

С другой

стороны, объем параллелепипеда V = Sосн × h , Sосн

- это площадь парал-

лелограмма: S =

[AB, AC ]

.

R

R

R

i

j

k

R

R

v

1

2

Sосн =

-1

-1

-1

=

- i

- k

=

2 , тогда высота h =

=

=

.

0

-1

0

Sосн

2

2

Угол между вектором и гранью ϕ найдем по формуле

p

(AD,[AB, AC ])

[AB, AC]

y = 2

- arccos×

AD

.

так

как

вектор [AB, AC ]

перпендикулярен грани,

в

которой лежат векторы

AB

и

AC . Угол между этим вектором и вектором AD находим по известной

формуле

(a × b)

cosj =

R

R

. Очевидно, что искомый угол j = π - j .

R

a

×

b

2

Итак: y =

π

- arccos

1

= π - arccos

1

.

×

2

5

2

2

10

Задача 4. Проверить,

лежат

ли в

одной

плоскости

точки

A(0, 0, 1), B(2, − 1, 3), C(1, 2, − 2), D(3, − 4, 8). Найти линейную зависимость вектора

AB от AC и AD , если это возможно.

R

R

R

Решение. Найдем три вектора: a = AB, b = AC, c = AD .

R

R

= (3, − 4, 7).

a

= (2, − 1, 2), b = (1, 2, − 3), c

2

− 1

2

произведение равно нулю:

1

2

− 3

= 0 . Следовательно, эти три вектора линей-

3

− 4

7

но зависимы. Найдем линейную зависимость AB от AC и

R

R

R

AD: a

= αb + βc .

R

= 1,

R

= 2 и

R

R

= 2π / 3 . Вычислить: а)

R

R

]

R

R

R

R

1.

a1

a 2

(a1

,a 2 )

[a1

,a 2

;

б)

[ 2a1

+ a 2 ,a1

+ 2a 2 ]

;

R

R

R

R

]

в)

[a1

+ 3a 2 ,3a1

− a 2

.

2.

R

=

R

=5,

R R

Вычислить площадь треугольника, построенного на

a

b

(a, b) = π / 4 .

R

− 2b

R

векторах a

и 3a + 2b .

3.

Заданы векторы a1 (3, − 1, 2) и a 2 (1, 2, − 1) . Найти координаты векторов:

а) [a1 , a 2 ]; б) [ 2a1 + a 2 ; a 2 ]; в) [ 2a1 − a 2 ; 2a1 + a 2 ].

4.

Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1, 1, 1), B(2, 3, 4)

и

С(4, 3, 2) .

5.

В треугольнике с вершинами А(1, − 1, 2) , В(5, − 6, 2)

и

С(1, 3, − 1)

найти высо-

ту h =

BD

.

R R

R R

R

и

b

имеют следующие ко-

6. Найти вектор [a, a

+ b]+ [a, [a, b]], если векторы а

ординаты:

R

b (1,

− 1, 1) .

a (2, 1, − 3),

9. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если

R

R

R

R

OA = 3i

+ 4 j, OB = −3 j + k,

R

R

OC = 2i

+ 5k .

10. В тетраэдре с вершинами в точках A(1, 1, 1), B(2, 0, 2), C(2, 2, 2)

и

D (3, 4, − 3) вычислить высоту h =

DE

.

11. Проверить, компланарны ли данные векторы:

R

а) a = − 2i + j + k, b = i − 2 j + 3k, c = 14i − 13j + 7k ;

б) a = 2i + j − 3k, b = 3i − 2 j + 2k, c = i − 4 j + k .

12. Доказать, что четыре точки A(1, 2, − 1), B(0, 1, 5), C(−1, 2, 1)

и D(2, 1, 3) ле-

1.

R

R

R

R

R

Упростить выражение [(2a + b), (c − a) ] +

[(b + c), ( a + b) ].

2.

Найти площадь параллелограмма, построенного

на векторах a = p + 2q и

b =

R

R

где p и q - единичные векторы, угол между которыми равен π / 3 .

2p

+ q ,

3.

Даны векторы

R

+ k, b = −2i + j +

R

+ 2 j + 3k . Найти вектор

a = 2i − 3 j

2k, c = i

u =

[[a, b], [a, c]].

R

R

R R

4.

Дан треугольник с вершинами

A(2, − 1, 2), B(1, 2, − 1), C(3, 2, 1 ). Найти его

площадь.

5. Даны силы M = {2, − 1, − 3}, N = {3, 2, − 1} и

P = {− 4,1,3 }, приложенные к точке

C(−1, 4, − 2) . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодей-

ствующей этих сил относительно точки

A(2, 3, − 1) .

6.

Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах:

R R

R R

R R

R

и

R R

R R

- взаимно перпен-

1) a

= p − 3q + r, b = 2p

+ q −

3r

с = p + 2q

+ r , где p,q и r

дикулярные орты;

R

R

R

R

R R

R

R

где

R

= 1/ 2,

R

R R

2) a

= 3m

+ 5n, b

= m −

2n, c =

2m +

7n,

m

n

= 3, (m, n) =1350 .

7.

Доказать, что точки A(1, 0, 7), B(− 1, − 1, 2 ),

C(2, − 2, 2), D(0, 1, 9) лежат в одной

что

R

= 4,

R

= 2,

R

= 3 , вычислить

R S

a

b

c

(a, b, c ) .

10. Вектор c

перпендикулярен к векторам

R

и

R

и b равен 300 .

a

b , угол между a

плоскости.

14.

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся

в

точках

A(2, − 1, 1), B(5, 5, 4 ), C(3, 2, − 1 )

и

D(4, 1, 3) .

15.

Даны вершины тетраэдра

A(2,3,1), B(4,1, − 2 ), C(6,3,7 ), D(−5, − 4,8) . Найти

его высоту, опущенную из вершины D.

16.

Объем тетраэдра

V = 5 ,

три его вершины находятся

в

точках

1) [a, c]. 2) 3

− 42a . 4)

.

1

, −

4

, −

7

3

/ 2 . 3)

22

5) 66,

. 6) 0. 8) 11.

66

66

66

9) 24. 10) ± 27 . 11) -7.

12) Да, нет, да.

14) 3. 15) 11.

16) (0, 8, 0), (0, -7, 0).

i

и j . Выразить через i

и j векторы OA, AC, BO, OC и BA , если OA = 3,

OB = 4 .

R

2. Найти вектор x ,

направленный

по

биссектрисе угла между векторами

= 7 i − 4 j − 4k и b = −2 i − j + 2k , если

R

= 5 × 6 .

a

x

R

= 2

рые углы, если

3 .

x

4. Даны

векторы

R

между

которыми составляет 1200 . Построить

a и b , угол

R

R

R

= 3 и

R

= 4 .

вектор c =

2a - 1,5b и определить его модуль, если

a

b

5. В трапеции OACB BC = OA / 3, BC / OA . Разложить геометрически и аналити-

R

по векторам

R

R

чески вектор OA = a

OC = c и

OB = b .

R

6. Найти вектор x , коллинеарный вектору a = i - 2 j - 2k , образующий с ортом j

острый угол и имеющий длину

R

= 15 .

x

7. Найти вектор x , образующий c ортом

j угол 600 , с ортом k - угол 1200 , если

R

= 5 2 .

x

8. Даны три вершины параллелограмма

ABCD: A (3, − 4,7), B(− 5,3, − 2) и

C(1, 2, − 3). Найти его четвертую вершину D, противоположную В.

9. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от

точек A (1, − 4,7) и

B(5,6, − 5).

R

R

= 3i

+ 2 j − k и b = − i − 2 j + 2k , если

= 4 3 .

a

x

17.

На оси ординат найти точку

М

, равноудаленную от точек A (1, 2, 3) и

B(− 1, − 3, 4).

18.

R

R

(7, 8, 8). Найти разложение век-

Даны три вектора: a (1, 2, 3), b (4, 5, 6), c

тора

R R

n (− 1, − 4, 1) по базису (a, b, c).

R

R

R

вектора p в этом базисе. a

(1, 2, 3), b (0, 1, 2), c (1, 3, 6), p (2, 1, 2).

R

R

R

вектора p в этом базисе. a (1, 2, 3), b (− 1, 0, 1), c (0, 2, 5), p (0, 1, 3).

R

R

21. Даны четыре вектора: a (1, 1, 1), b (0,1, 2), c (1, 2,3), d (− 1,3, 2). Можно ли лю-

бые три из них принять за базис?

22. Найти вектор x , образующий с ортом i

угол π / 4 , с ортом j

угол π / 6 , если

R

= 2 3 .

x

R

(2, 0, 1), b (0,1, 2), c (2,1, 4),