Добавил:

FuwaFuwa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

Задачи ВА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2025

Размер:

482.55 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования Российской Федерации Омский государственный технический университет

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ И

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Для студентов дневного отделения

Омск – 2003

Составители:

Веснина Алла Александровна, доцент Котюргина Александра Станиславовна, доцент

Занятие 1

Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов

Определение 1. Геометрическим вектором, или просто вектором, называется

направленный отрезок.

Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом AB , где точки А и В - начало и конец данного вектора, либо a . Начало вектора называют точ-

кой его приложения.

Определение 2. Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают.

Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение 4. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллиннеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Все нулевые векторы считаются равными.

R	+ b двух векторов a	и b называется вектор, идущий
Определение 6. Суммой a

из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a .

R	− b вектора a	и вектора b называется такой вектор
Определение 7. Разностью a

с, который в сумме с вектором b дает вектор a .

Определение 8. Произведением αа вектора a на действительное число α назы-

вается вектор	b , коллинеарный вектору	a , имеющий длину, равную		a		×	R	,	и
							а

имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a при α > 0 и противоположное направлению вектора a при α < 0 .

Обозначим буквами			A	′	и	′	основания перпендикуляров, опущенных на ось u
Обозначим буквами			A		и	B	основания перпендикуляров, опущенных на ось u
из точек А и В соответственно.
		В
		a
А
А	′	′	u
А		В	u

	R	= АВ на ось u				′	′
Определение 9. Проекцией вектора а			называется величина А В
направленного отрезка А¢В¢ оси			R	=	R	сosj , где ϕ
	u и обозначается прu а . прu а				а		-

угол между вектором a и осью u .

Любой вектор a может быть разложен по декартову прямоугольному базису

R
i , j, k : а = x i + yj + zk .
Числа x, y, z	- называется декартовыми прямоугольными координатами вектора
a . Обозначим	буквами α,β и γ углы наклона вектора a к осям координат;

cos α,cos β,cos γ называются направляющими косинусами вектора a .

Длина вектора через его координаты имеет вид

= x 2

+ y2 + z2 .

Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам:

cos α=

; cosβ=

; cos γ=

x 2 + y2 + z2

x 2

+ y2 + z2

x 2 + y2 + z2

откуда следует cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Определение 10. Ортом вектора

a называется вектор

a 0 , удовлетворяющий ус-

ловиям:

0 коллинеарен вектору a ,

1) a

=1.

а0

Координатами орта вектора являются направляющие косинуса.

Если два

вектора

а1

и a 2

заданы в декартовых прямоугольных координат

= x 2 i + y2 j

+ z

= (x1 + x 2 )i + (y1 + y2 ) j + (z1 + z2 )k,

а1 = x1 i + y1 j + z1k , а2

2 k ,то a1

+ a 2

+ (αy1 ) j + (αz1 )k .

αa = (αx1 )i

Условие коллинеарности векторов имеет вид

x 2

Примеры решения задач

Задача 1. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол BOA = π / 3, OB = BC = СA = 2 ,

M N - середина сторон ВС и АС. Выразить векторы

AC, OM, ON и MN через

m и

n - единичные векторы направлений

OB .

600

Решение. OM = OB + BM . Так как OB =

2n, BM

= m, OM = 2n

+ m . Найдем

вектор AC . Из треугольника ОСА

AC = OC − OA , а так как OC = OB + BC , а

OA =

Найдем ON из треуголь-

4m,

то AC = 2n +

2m − 4m ,

вектор AC = 2(n

− m).

ника ONC ON = OC − NC , а так как OC = 2(n + m),

NC = n

− m , ON = n

+ 3m .

Из треугольника OMN MN = ON − OM = −2n

− m

+ n + 3m

= −n + 2m .

Задача 2.

= 2i − 3 j + 6k и b = − i + 2 j − 2k , приложены к общей

Даны векторы a

b .

точке. Найти орт биссектрисы угла между a

Решение. Диагональ четырехугольника совпадает с биссектрисой, если этот че-

тырехугольник –

ромб (квадрат). Найдя а0

и b0 , получим угол с одинаковыми по

длине сторонами, равными единице. Таким образом, вектор

= a 0

+ b0

направлен

b .

по биссектрисе угла между a

3 6

1 2

= 4 + 9 +

36 = 7, a

; −

;

1 + 4 + 4 = 3 ,

= −

;

; −

3 3

2 6

5 4

= а

+ b

−

, −

−

= −

7 3

7 3 7

21 21

1 2

Найдем длину вектора с

тогда орт биссектри-

сы равен с

= −

Задача 3.

Разложить вектор

по трем некомпланарным векторам:

S = a + b + c

= a

+ b, q

= a

− b, r = 2b + 3c .

Решение.

S = αp + βq

+ γr .

+ b + c

= αa + αb + βa

− βb

+ 2γb + 3γc .

Приравняем коэффициенты справа и слева:

α + β = 1,

2 R

3 R

α − β + 2γ = 1, тогда

α =

; β =

;

γ =

S =

r .

− 2α + 3γ = 1,

Задачи

b .

1. Построить вектор a

− 2b по данным векторам a

2. В треугольнике ОАВ даны векторы

MA и

= OA, b = OB. Найти векторы

MB , где М – середина стороны АВ.

3. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах a

		R		R	R
		a − b		R	a	+ b
чертеже справедливость тождества		a − b		+ b =	a	+ b	.
чертеже справедливость тождества				+ b =		2	.
			2			2
4. В равнобочной трапеции АВСD известно нижнее основание
R							R
сторона AD = b и угол между ними	ÐA = p/ 3 . Разложить по a

составляющие остальные стороны и диагонали трапеции.

и b , проверить на

= R боковая

AB a ,

и b все векторы,

5. Даны модуль вектора	R	= 2	и углы α = 450 , β = 600 , γ = 1200 . Вычислить про-
	a

екции вектора a на координатные оси.

6.Вычислить направляющие косинусы вектора a = {12, − 15, − 16 }.

7.Вектор составляет с осями ОХ и OZ углы α = 1200 и γ = 450 . Какой угол он составляет с осью OY?

}, b{− 1,0, − 2}. Найти

8. Даны a{3, − 4,5

c =

2a + 5b, d

= 3a − 2b .

9. Даны

= 13,

= 19 и

= 24 . Вычислить

+ b

a − b

b образуют угол ϕ = 1200 , причем

= 3 и

= 5 . Определить

10. Векторы a и

+ b

− b

11. Даны четыре вектора:

{2, 2, − 1}

и d = {3,7, − 7}.

a = {2,1,0 },

b = {1, − 1, 2 }, c =

Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.

12. Даны точки A(−1,5, − 10), B(5, − 7,8) и D(5, − 4, 2) . Проверить, что векторы

AB и CD коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько

раз, как они направлены – в одну сторону или в противоположные. 13. Найти орт вектора a{6, − 2, − 3 }.

Два вектора R = { − } и = {− − } приложены к одной точке Опре

14. a 2, 3,6 b 1, 2, 2 . -

делить координаты вектора c , направленного по биссектрисе угла между векто-

		R
рами a и b , при условии, что		R	= 3 42 .
рами a и b , при условии, что		c	= 3 42 .
15. Исследовать	на линейную зависимость			систему векторов a{1,0, − 1},
R	− 1}.
b{1, − 1,1}, c{1, − 3,	− 1}.
16. Доказать, что векторы a{2, 2,3 }, b{1, 2,3 },				c{1,1,1} линейно независимы и
разложить по ним вектор d{3,0, − 2 }.

Домашнее задание

1. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора a ={3, − 1, 4 }, если его

начало совпадает с точкой М (1, 2,- 3).

γ при α = 450 и

Вектор a

составляет с осями координат острые углы α, β,

γ =

600 . Найти его координаты, если

= 3.

ϕ = 600

=8 . Определить

Векторы

и b образуют угол

, причем

a + b

a − b

Точка

является центром

масс

треугольника

АВС.

Доказать, что

OA + OB + OC = 0 .

5. Три силы M, N и P , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей R , если извест-

но, что M = 2 H, N = 10 H и P = 11 H . 6. Найти орт вектора a = {3, 4, − 12 }.

7. Векторы AB = {2, 6, − 4 } и AC ={4, 2, − 2 } совпадают со сторонами треуголь-

ника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.

8. Даны вершины треугольника: A (1, − 1, − 3), B(2, 1, − 2) и C(−5, 2, − 6) . Вы-

числить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

9. Зная векторы, служащие сторонами треугольника	R	R	R
	AB = c, DC = a, CA = b ,

найти векторы, соответственно коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.

10. На плоскости даны четыре точки: A(1, − 2), B(2,1), C(3, 2) и D(−2,3) . Определить разложение векторов AD, BD, CD и AD + BD + CD , принимая в качестве

базиса векторы AB и AC .

11. Даны три вектора: p = {3, − 2, 1}, q = {− 1, 1, − 2 }, r = {2, 1, − 3}. Найти разло-

жение вектора c = {11, − 6,5 } по базису p, q, r .

Ответы к задачам

− b

b − a

4. BC = −

a + b, CD =

a , AC

+ b, BD = −a + b .

5. (

6. cosα =

; cosβ = −

, cos γ = −

2,1, − 2).

7. 600 или1200

(1, − 8,0), d = (11, − 12,19).

8. c =

9. 22.

10.

19, 7 .

R R

R R R

2 R

1 R

3 R

1 R

11. d =

− 3b + c,

c = −2a +

3b + d, b =

c −

a =

−

c +

d .

13. a =

, −

. 14. c = (− 3, 15, 12 ).

16. d = a −

3b +

4c .

Ответы к домашнему заданию

	R		3	3			3

1.	N(4,1,1 ). 2. a	=			;	;		. 3. 129, 7 .


			2	2			2

		R	0		3		4

5.	R	=15H . 6. a		=		,		,

					12		13

8.3 10 .

−

, q1

1 R

7. AM = (3, 4, − 3), BN

c − b, CP =

b − c .

b a

−

, p2

, q2

, r2

где p1 ,q1 , r1 имеют направление внутренних углов А, В и С p2 , q2 , r2 имеют направления биссектрис одноименных внешних углов треугольника.

10. AD = 11AB − 7AC, BD = 10AB − 7AC, CD = 11AB − 8AC, AD + BD + CD = 32AB - 22AC . 11. c = 2p − 3q + r .

Занятие 2 Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов

и b

называ-

R R

ется число

(a, b)=

cos (a, b);

(a, b)=

× пр

b .

Свойства скалярного произведения:

(a, b)= (b,a) (переместительное);

(aa, b)= a(a, b) (сочетательное относительно числового множителя);

R R

(a + b, c)=

(a, c) +

(b, c) (распределительное относительно суммы векторов).

R R

(a, b)

Если a = (a1 ,a 2 ,a 3 ),

b = (b1 , b2 , b

3 ), то (a, b)= a1b1 + a 2 b2 + a

3 , cos(a, b)=

и b :

Условие перпендикулярности векторов a

(a, b)= 0 .

Длина вектора a :

R R

= (a,a ) .

Физический смысл скалярного поизведения: если вектор F представляет силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора S, то работа А этой силы определяется равенством A = (F,S).

Примеры решения задач

Задача 1. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на век-

торах a = 3m + n и b =

где m

и n таковы,

что

R R

+ n ,

=1, (m, n)=600 .

Решение. Диагонали параллелограмма есть векторы

c = a + b

и d = a - b . Вы-

числим длину вектора c :

R R

( 5m

+ 2n )

(5m

+ 2n)2 = 25(

m, m)+ 20(m, n)

+ 4(n, n)= 29 + 10 + 4 = 43 .

Аналогично вычисляется длина вектора d .

Задача 2. Найдите вектор b , коллинеарный вектору a = ( − 1, 2,

2 ) и удовлетво-

ряющий условию

( b, a) = - 2 .

Решение. Обозначим вектор b =(b1 , b2 , b3 ), тогда из условий задачи

- b1 + 2b

2 + 2b3 = -2

или

b2 = −2b1 ; b3

= −2b1; − 9b1 = −2; b1 = 2 / 9 ,

- b1

тогда b2

= b3 = −4 / 9 . Итак: b = (2 / 9, - 4 / 9, - 4 / 9 ).

Задача

Найти проекцию вектора

= 3i +

на

направление вектора

4 j - k

b = i + j .

Решение.

. По формуле проекции вектора на ось будет иметь

место равенство

R R

преR u =(u, e)=

(3, - 3,

- 2), b

= (-1, - 2, - 2), d = (- 6,6, 4).

Задача 4. Даны векторы: a =

= (- 4,1,0), c

R R

Проверить, есть ли среди них коллинеарные. Найти

(a, b),

прbR a .

Решение.

Условие коллинеарности имеет вид

x 2

. Этому условию

и d . Следовательно, они коллинеарны. Найдем длины

удовлетворяют векторы a

векторов

и b :

= 9 +

9 + 4 = 22,

16 +1 =

17 .

cosj=

(a, b)

Угол между векторами определяется по формуле

− 12 − 3

− 15

R R

-15

Тогда cos (a, b)=

(a, b)=arccos

22 ×

374

− 15

(a, b)

Используя формулу

прbR a =

получим прbR a

f1 = − j, f2

Задача 5. На материальную точку действуют силы

= − i , f3 = − k . Най-

ти работу равнодействующей этих сил R при перемещении точки из положения

A (2, − 1,0) в положение B(4,1, − 1).

+ f2 + f3 = − i − j − k .

Решение.

Найдем

силу

вектор перемещения R = f1

R R

тогда искомая работа A =(R, S) = - 2 - 2 + 1 = -3.

S = AB = 2 i

+ 2 j - k ,

Задачи

1. Векторы a π / 3 . Зная, что

и b взаимно перпендикулярны, а вектор c образует с ними углы

R	=	R	= 2,	R	=1,	R	R R	R	R
a	=	b	= 2,	c	=1,	найти: 1) (2a	- b) × (c - a) ;	2) (a	+ b + c)2 .

Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах

= 3

R R

если известно, что

a =

+ 2q и b

= p -

3q ,

(p,q) = p/ 4 .

Доказать, что вектор

R R

перпендикулярен к вектору a .

p = b (a, c)

- c (a, b)

Зная, что

= 2,

= 2p/ 3, определить, при каком значении ко-

(a,

+ 17b

окажутся перпендикулярными.

эффициента α векторы p = aa

q = 3a - b

Даны вершины четырехугольника: A (1, 2,3), B(7,3, 2), C(−3,0,6), D (9, 2, 4) .

Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на

векторах a {2,1,0 } и b{0, -1,1}.

Даны силы f1 = i - j + k

и f2

= 2i + j + 3k . Найти работу их равнодействую-

щей при перемещении точки из начала координат в точку M (2, − 1, − 1) .

Даны вершины треугольника:

A (4,1,0), B(2, 2,1)

С(6,3,1) . Найти проек-

цию вектора AB на вектор AC .

Найти вектор u , перпендикулярный векторам

+ k

b = 2 j - k , если из-

a = i

вестно, что его проекция на вектор

c = i + 2 j + 2k равна единице.

10. Сила, определяемая вектором R ={1, - 8, - 7 }, разложена по трем направлени-

ям, одно из которых задано вектором

a = 2i + 2 j + k . Найти составляющую силы

R в направлении вектора a .

11. Даны вершины треугольника: A (−1, − 2, 4), B(−4, − 2,0)

и С(3, − 2,8) . Най-

ти его внутренний угол при вершине А и внешний угол при вершине В.

12.

Даны

три

последовательные

вершины

параллелограмма:

A (−3, − 2, 0), B(3, − 3,1)

С(5, 0, 2) . Найти его четвертую вершину D и угол

между векторами AC

BD .

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
10.06.2025156.17 Кб0Tabl_Zakony_raspredelenia.pdf
#
10.06.202554.42 Кб0Voprosy_k_ekzamenu_ver_3.pdf
#
10.06.202511.86 Кб0Безымянный.png
#
10.06.20251.28 Mб0ДЗ_матлаб_Любицкая_КЗИ-212.docx
#
10.06.2025531.3 Кб0Задачи АГ.pdf
#
10.06.2025482.55 Кб0Задачи ВА.pdf
#
10.06.2025907.88 Кб0КЗИ-212_Любицкая_АГ_2вар.pdf
#
10.06.202521.69 Кб0КЗИ-212_Любицкая_ФНП_3вар.docx
#
10.06.2025115.61 Кб0КЗИ-212_Любицкая_ФНП_3вар.pdf
#
10.06.20251.47 Mб0КЗИ-212_Титульный лист.docx
#
10.06.202546.08 Кб0Методика рейтингового контроля ВМ (2 семестр, 2021-2022 уч. год).doc