Добавил:

FuwaFuwa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

Задачи АГ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2025

Размер:

531.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

13. lim

x→ 0

15. lim

x→ 0

17. lim

x→ 0

19. lim

α→ 0

21. lim

x→ 0

23. lim

x→ 0

25. lim

x→ 0

27. lim

x→ 0

29. lim

x→ 0

tg 3x

x + 3 − 3

cos x − cos5 x . 9 + x 2 − 3

sin 7x

x + 2 − 2

α2

(9 − α − 3)tg 3α .

sin 7x

x + 5 − 5

tg 7x .

x + 49 − 7

(x + 2 − 2 )tg x

2 .

x 2

3x + 2 − 2 . tg 3x

sin 4x

x + 25 − 5

14. lim

arctg5x

x + 4 −

x→ 0

16. lim

2 − 2cos x

x→ 0 x ( 1 + x − 1)

(

−

)sin 2x

18. lim

8 + x

x→ 0

x 2

(

− 3)x

20.

lim

x + 9

x→ 0

sin 2 3x

−

22.

lim

1 + x

1 − x

sin 3x

x→ 0

24.

lim

arcsin

x→ 0

x + 4 − 2

26.

lim

tg13x

x→ 0

2x + 5 − 5

−

2 + x sin x

28.

lim

2x 2

x→ 0

30. lim

tg 3x

x + 9 −

x→ 0

З а д а ч а 20

Пусть нужно найти lim[f (x)]ϕ( x ) . Если при этом при x → x 0 f (x) → 1 и
x→x0
ϕ(х) → ∞ , то имеем неопределенность 1∞ ;	если f (x) → ∞ и ϕ(x) → 0 , то имеем
неопределенность ∞0 ; f (x) → 0 и ϕ(x) → 0	, то имеем неопределенность 00 . Эти

неопределенности раскрываются с помощью второго замечательного предела.

2. lim (1 + α)

1. lim 1 +

= ,

= 2,71828...

или

= .

v→ ∞

α→ ∞

Пример 22

3x + 5

Вычислить предел

lim

x→ ∞

3x + 1

+ 5

∞

3 +

Здесь lim

= ∞ =

= lim

= 1, поэтому получим неопределенность

+ 1

x→ ∞ 3x

∞

x→ ∞

3 +

вида 1¥ . Используем первую форму второго замечательного предела. Для этого преобразуем основание к виду 1 + 1 следующим образом:

3x + 5

3x + 5 − 3x − 1

= 1

− 1

=1 +

= 1+

= 1 +

3x + 1

+ 1

3x + 1

+ 1

3x + 1

×x

3x+1 3x+1

3x + 5

Тогда

lim

=lim 1 +

= lim

x®¥ 3x

+ 1

x®¥

3x + 1

x®¥

3x + 1

3x+1

limx→∞

3x+1

= lim

= e

3x +

x®¥

т. к.

lim

, а предел основания равен е.

3x + 1

x®¥

Контрольные варианты к задаче 20

Вычислить пределы функций:

x 2

− 5

6-4 x2

2x 2 + 8

x2 -4

lim

+ 1

+ 3x − 1

x® ¥ x

x® ¥

+ 2

6 x3 +4

x + 3 x+2

lim

+ 1

x® ¥ x − 1

x® ¥ x

5x − 1

2x 2 + 4x − 5 2x

lim

− 2

− 8

x® ¥

x 2

+ 4

3-x2

2x − 7 4x+1

lim

+ 1

x® ¥ 2x − 3

x® ¥ x

3x − 1

4x + 1 1-2x

lim

10.

lim

− 4

x® ¥

4x − 3

− 2

3-2 x

3x − 2 x

11.

lim

12.

lim

+ 3

x® ¥

3x + 4

		x - 2					4-x
13.	lim					.

	x® ¥	x +			3
			2x + 3				1-3x
15.	lim						.
			2x + 5
	x® ¥
			4x + 5				2 x-3
17.	lim						.
			4x + 1
	x® ¥
			2x - 3				4-x
19.	lim						.
			2x + 1
	x® ¥
			3x -1				2 x-4
21.	lim						.
			3x + 2
	x® ¥
			7x -1				4-x
23.	lim						.
			7x + 5
	x® ¥
			5x -1				3x+1
25.	lim						.
			5x + 7
	x® ¥
			7x + 5				3-x
27.	lim						.
			7x -1
	x® ¥
			3x	2	+ 8				x2 -4

29.								.
	lim
				2
			3x
	x® ¥				-1

			4x - 5						4x+1
14.	lim							.
14.	lim							.
	x® ¥		4x - 3
			x + 1 1-2x
16.	lim						.
16.	lim						.
	x® ¥	x + 4
			3x - 4						6x+1
18.	lim							.
18.	lim		3x - 2					.
	x® ¥		3x - 2
			5x + 7						2x
20.	lim							.
20.	lim		5x - 3					.
	x® ¥		5x - 3
			2x -1					3x-2
22.	lim							.
22.	lim							.
	x® ¥		2x + 5
			3x - 3					1-4x
24.	lim							.
24.	lim							.
	x® ¥		3x -1
			6 - x 3x
26.	lim						.
26.	lim						.
	x® ¥		7 - x
			x		3	-1			5x3 +1

28.
	lim								.
	lim			3					.
				3		+ 4
	x® ¥ x					+ 4
			3x + 4						7 x+1
30.	lim							.
30.	lim		3x - 5					.
	x® ¥		3x - 5

З а д а ч а 21

Пример 23

Вычислить A = lim{(x − 9)[ln(x + 4) − ln x]}. Это неопределенность вида ¥ × 0 .
x®¥
Так как (x - 9)[ln(x + 4) - ln x]= (x - 9)× ln	x + 4	= (x - 9)× ln 1 +	4	= ln 1 +	4	x-9 .
	x				x
			x

Найдем, используя свойство непрерывности логарифмической функции:

×(x-9)

x-9

A = limln 1 +

= ln lim 1 +

= ln lim

x®¥

x / 4

					x	lim	4 x−36
					x	lim	x
						x→∞
				4		x→∞
				4
			1
			1						4
= ln lim		+						= ln e		= 4.
	1
	1		x
x→∞			x


			4
			4

Контрольные варианты к задаче 21

Вычислить пределы функции:

1.	lim	(8x − 1)[ln (2x − 1) − ln 2x ].
	x→ +∞	(3x + 2)[ln (x + 3) − ln (x + 4) ].
3.	lim	(3x + 2)[ln (x + 3) − ln (x + 4) ].
	x→ +∞	(3x − 2)[ln (2x − 1) − ln (2x + 1) ].
5.	lim	(3x − 2)[ln (2x − 1) − ln (2x + 1) ].
	x→ +∞	(2x − 5)[ln (2x + 4) − ln (2x + 1) ].
7.	lim	(2x − 5)[ln (2x + 4) − ln (2x + 1) ].
	x→ +∞	(4x − 3)[ln (x + 2) − ln (x − 1) ].
9.	lim	(4x − 3)[ln (x + 2) − ln (x − 1) ].
	x→ +∞	(x − 7)[ln (x + 4) − ln x ].
11.	lim	(x − 7)[ln (x + 4) − ln x ].
	x→ +∞
13.	lim	(7x − 4)[ln (4x + 1) − ln 4x ].
	x→ +∞
15.	lim	(2x − 5)[ln (2x + 4) − ln 2x ].
	x→ +∞
17.	lim	(3x + 7)[ln (5x + 2) − ln (5x − 3) ].
	x→ +∞
19.	lim	(3x + 4)[ln (x + 2) − ln x ].
	x→ +∞

2. lim		(2x + 1)[ln (x + 1) − ln x ].
	x→ +∞	(x + 2)[ln (2x + 3) − ln (2x − 4) ].
4. lim
	x→ +∞	(x − 5)[ln (x − 3) − ln x ].
6. lim
	x→ +∞	(3x + 1)[ln (2x − 1) − ln (2x + 4) ].
8. lim
	x→ +∞	(3x + 5)[ln (2x − 1) − ln x ].
10.	lim
	x→ +∞
12.	lim	(x + 7)[ln (4x − 5) − ln 4x ].
	x→ +∞
14.	lim	(2x + 3)[ln (x + 2) − ln x ].
	x→ +∞
16.	lim	(3x − 2)[ln (2x + 1) − ln (2x − 1) ].
	x→ +∞
18.	lim	(x + 2)[ln (2x + 3) − ln (2x − 4) ].
	x→ +∞
20.	lim	(3 − x)[ln (1 − x) − ln (2 − x) ].
	x→ +∞

			1			1
21.	lim	(3x + 4) ln		x −	1	− ln	x + 5 .
21.	lim	(3x + 4) ln	2	x −	1	− ln	x + 5 .
	x→ +∞		2			2
23.	lim	(x + 2)[ln (2x − 3)			− ln (2x + 1) ].
	x→ +∞

25. lim (4x − 1)[ln (2 − x) − ln (3 − x) ].

x→ +∞

27. lim (3 − x)[ln (2x + 1) − ln (2x − 5) ].

x→ +∞

29. lim (2x + 3)[ln (x + 1) − ln x ].

22. lim (x − 4)[ln (2 − 3x) − ln (5 − 3x) ].

x→ +∞

24. lim (x − 8)[ln (4x + 3) − ln (4x − 7) ].

x→ +∞

26. lim (x − 6)[ln (2x + 1) − ln (2x + 3) ].

x→ +∞

28. lim (3x − 1)[ln (2x − 1) − ln (2x + 1) ].

x→ +∞

30. lim (2x − 3)[ln (3x − 1) − ln 3x ].

x→ +∞

З а д а ч а 22

Пример 24

Вычислить А = lim(9 − 4x)xx 2 .

−

x→2

Если представить предельное значение переменной х, то получим неопределенность вида 1∞ . Используя вторую форму второго замечательного предела

lim(1 + α)

= e , введем новую переменную y = x − 2 .

α→0

замены x = y + 2 . Тогда

A = lim(9 − 4x)

= lim[9 − 4(y +

2)]

y+2

x−2

( y+2)−2

x→2

y→0

−4 y( y+2)

+ (− 4y)] −4 y

= e−8 .

lim

y→0

Тогда y → 0 , если x → 0 . Из

= lim(1 − 4y)yy2 =

y→0

Контрольные варианты к задаче 22

Вычислить пределы функций

1. lim (3 − 2x)

(2 − x)

(2x − 1)

2. lim

3. lim

1−x

x−1

x→ 1

(3x − 2)

(2x − 3)

(2x − 5)

2 x

4. lim

5. lim

6. lim

x2 −1

x−2

x−3

x→ 1

x→ 2

x→ 3

(3x − 5)

(2x − 3)

(3 − 2x)

2 x

7. lim

8. lim

9. lim

x2 −4

x−2

x2 −1

x→ 2

x→ 1

(7 − 6x)

(4 − 3x)

(5 − 2x)

10. lim

11. lim

12. lim

3x−3

x−1

x−2

x→ 1

x→ 2

13. lim

(7 − 2x)

14. lim

(2x + 3)

15. lim

(2x + 3)

x−3

x+1

x→ 3

x→ −1

(6x − 5)

(2x + 7)

(4x + 9)

16. lim

17. lim

18. lim

x2 −1

x2 −9

x2 −4

x→ 1

x→ −3

x→ −2

7 x

19. lim

(3x − 5)

20. lim

(2x − 7)

21. lim

(3x − 8)

x−2

x−4

x−3

x→ 2

x→ 4

x→ 3

(3x + 10)

6 x

(5 + 2x)

(11 + 2x)

7 x

22. lim

23. lim

24. lim

x+3

x2 −4

x+5

x→ −3

x→ −2

x→ −5

(2x − 9)

(2x + 9)

(3x − 11)

7 x

23. lim

26. lim

27. lim

x2 −25

x2 −16

x−4

x→ 5

x→ −4

x→ 4

(3x + 16)

(2x − 13)

(15 + 2x)

28. lim

29. lim

30. lim

x+5

x2 −49

x→ −5

x→ 7

x→ −7

З а д а ч а 23

Пример 25

		1	−		4
Вычислить lim						.
Вычислить lim				2		.
x→5	x − 5 x				− 6x + 5

При подстановке предельного значения аргумента возникает неопределенность (∞ − ∞). Приведение к общему знаменателю сводит эту неопределенность к

	0		∞
неопределенности		или	.

	0		∞

		1	−	4	=		x − 1 − 4
						lim

lim							(x − 5)(x − 1)
x→5	x − 5			(x − 5)(x − 1)		x→5	(x − 5)(x − 1)

	0		1		1
=		= lim		=		.
			x − 1		4
	0	x→5

Контрольные варианты задачи 23

Вычислить пределы функций:

−

1. lim

x→ −2 x + 2

x3 + 8

−

2. lim

+ 2

− х2

x→ −2

3. lim

− x .

+ 1

x→ ∞ x

−

7. lim

+ 3

− x 2

x→ −3

x 2

− x

9. lim

+ 3

x→ +∞ x

−

11. lim

− z

− z3

z→ 2

−

13. lim

x→ 2

x − 2

x 2 − x − 2

−

15. lim

x→ 3

x − 3

x 2 − 5x +

−

17. lim

x→ 4

x − 4

x 2 − 5x +

−

19. lim

−

x→ 5

x 2 − 25 x

−

2. lim

− 1

x→ 1

2 − 1

−

4. lim

− 2

x→ 2

− 8

−

6. lim

− 1

1 − x3

x→ 1

−

8. lim

− 4

х3

x→ 4

− 64

−

10. lim

+ x

x→ −1 1

− x 2

− x

12. lim

x→ +∞ x

−

14. lim

+ 6

x→ −6 x 2 +

7x + 6 x

−

16. lim

− x 2

−

x→ 3

−

18. lim

x→ −4 x + 4 x 2

9x + 20

−

20. lim

x→ −5 x + 5 x 2

+ 11х + 30

		1						3									1				1
21. lim				-									.		22. lim			-							.
21. lim				-									.		22. lim			-							.
x→ −1 x + 1 2х2							+ 7х + 5								x→ −2	x + 2			3х2 + 13х + 14
		х3 + 3х2 + 1						−									1	−			1
23. lim										х .					24. lim							.
																				2
				2
			x	2	+ 1										x→ 3 x − 3				х		− 5х + 6
x→ +∞			x		+ 1										x→ 3 x − 3				х		− 5х + 6
				1			−			1							4	−			1
25. lim												.			26. lim								.
25. lim												.			26. lim								.
x→ −1 x 2 + 3х + 2									х + 1						x→ −3	x + 3			х2 + 7х + 12
		1		−			2										1	−			9
27. lim											.				28. lim									.
27. lim	х − 3					х2 −					.				28. lim				2х2 − 7х −					.
x→ 3	х − 3					х2 −	4х + 3								x→ 4	x − 4			2х2 − 7х −			4
		1		−				2									1	−			6
29. lim														.	30. lim							.
29. lim	х +		4			х2 + 10х +								.	30. lim							.
x→ −4	х +		4			х2 + 10х +					24				x→ 4	x − 4			х2 − 2х − 8

З а д а ч а 24

Функция y = f (x) непрерывна в точке x0 , если выполнены условия:

1)	функция определена в этой точке и ее окрестности;
2)	существует предел функции в точке x0 , т. е. lim	f (x) = lim		f (x) ;
	x→ x0 −0	x→x0	+0

3) предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

Если в точке x1 нарушено хотя бы одно из этих условий, то x1 - точка разрыва. Точка разрыва x1 называется точкой разрыва первого рода, если существуют

конечные односторонние пределы функции в этой точке. Если при этом они равны между собой, то x1 называют точкой устранимого разрыва, а если они не равны, то

x1 называют точкой неустранимого разрыва или скачком.

Точка разрыва x 2 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один (или оба) из односторонних пределов функции в точке x 2 бесконечен или не существует.

Пример 26

Исследовать функцию y = f (x) на непрерывность. В точках разрыва установить характер разрыва. Схематично построить график функции

	-1, если x <-				p
	-1, если x <-				;
					4
			p
			p	£ х < 0;
y = tgx , если -			4	£ х < 0;
			4
	1	, если x ³ 0.


	x -1

Функция задана тремя аналитическими выражениями, представляющими собой элементарные функции, которые непрерывны во всех точках, где они определены.

Функция

y = −1 всюду определена, функция

y = tg x определена на проме-

жутке

− π

≤ x < 0 , функция y =

не определена в точке x0 = 1, которая явля-

x − 1

ется точкой разрыва. Точками разрыва могут быть также точки x = − π и x

2 = 0 ,

где происходит смена аналитического выражения функции.

Исследуем на непрерывность функцию в точке x1 = − π .

= − 1.

1. f −

tg −

lim

f (x) = lim (−1) = − 1.

x→− π

−0

x→− π

lim

f (x) = lim

tg x

− 1,

lim f (x) = − 1.

= tg −

x→− π

lim f (x)

−

x→− π

= − π

В точке x1

функция непрерывна.

Исследуем на непрерывность функцию в точке x 2 = 0 .

1. f (0)

= − 1.

− 1

lim f (x) = lim tg x = 0 ,

lim f (x) =

lim

= − 1.

x −

x→0−0

x→0

x→0+0

x→0

Так как односторонние пределы в точке х2

= 0

не равны между собой, предел

функции в точке

x 2

= 0

не существует. Однако односторонние пределы в

этой

точке существуют и конечны, поэтому x 2 - точка неустранимого разрыва I рода.

Определим характер разрыва функции в точке x3					= 1.
	1		1
lim f (x) = lim		=		= − ∞ .

x→1−0	x→1−0 x − 1		− 0
	1		1
lim f (x) = lim		=		= + ∞ .

x→1+0	x→1+0 x − 1		+ 0
Так как односторонние пределы функции в точке					x0 = 1 бесконечны, точка x0 -
точка разрыва второго рода.

График функции, имеет следующий вид.

	y =	1
	y =	x − 1
		x − 1

y = tg x

	− π	О
		х
y = −1	4	1

Контрольные варианты задачи 24

Исследовать функцию y = f (x) на непрерывность. В точках разрыва установить характер разрыва. Схематично построить график функции:

	2x + 1, если x < -1
1. y =		2	,	если -1 £ x £ 2
	x
		- x,		если x > 2
	6

	x + 1,		если x £ 0
3. y =		2	, если 0	< x	£ 2
	(x + 1)

- x + 4, если x > 2

	4 + x,			если x < -1
2. y =		2	+ 2,	если -1 £ x <1
	x
				если x ³1
	2x,
	x + 2,			если x £ -1
4. y =		2	+ 1,	если -1 < x £1
	x
				если x >1
	- x + 3,

	- x,		если x £ 0
5. y =		2	, если 0 < x	< 2
5. y =	- (x -1)		, если 0 < x	< 2
			если x ³ 2
	x - 3,		если x ³ 2

	x + 1,			если x £ 0
7. y =		2	,	если 0 < x £ 2
	x
				если x > 2
	0,5 x + 3,

	x + 1,			если x < 0
9. y =		2	+ 1,	если 0 £ x <1
9. y =	x		+ 1,	если 0 £ x <1
				если x ³1
	1,			если x ³1

	- 2x, если x £ 0
11. y =							если 0 < x < 4
		x ,
		x ,
							если x ³ 4
	3,						если x ³ 4
	3x,					если x £ 0
13. y =						если 0 < x £ 2
13. y =	2,					если 0 < x £ 2
						если x > 2
	x,					если x > 2
	2x,							если x £ 0
15. y =		2		+ 1, если					0 < x £1
15. y =	x			+ 1, если					0 < x £1
								если x >1
	2,							если x >1
			2		+ 1,			если x £ 1
	x				+ 1,			если x £ 1
17. y =	2x,							если	1 < x £ 3
								если	x > 3
	x + 2,							если	x > 3
			- 3,					если x < 0
	x		- 3,					если x < 0
19. y =	x + 1,							если 0 £ x £ 4

		+					x , если x > 4
	3	+					x , если x > 4

	- (x + 1), если x £ -1
6. y =		+			3)	3	,	если		-1 < x < 0
6. y =	(x	+			3)		,	если		-1 < x < 0
								если x ³ 0
	x,							если x ³ 0
					если x £ 0
	- x,				если x £ 0
											p
8. y =									0 < x <		p
8. y =	tg x, если								0 < x <		4
										p	4
					если				x ³	p
	2,				если				x ³	4
										4
		2		+ 1,				если x < 0
	x			+ 1,				если x < 0
10. y =	1 - x,							если 0 £ x £ 2
								если x > 2
	2,							если x > 2
		2		,	если x £ 0
	x			,	если x £ 0
12. y =	x,				если				0 < x £ 2
					если x > 2
	1,				если x > 2
	- x,						если x £ 0
14. y =							если 0 < x £ p
14. y =	sin x,						если 0 < x £ p
		- 2,					если x > p
	x	- 2,					если x > p
	- x,						если x £ 0
16. y =		2		+ 1,				если 0< x £
16. y =	x			+ 1,				если 0< x £
		+ 1,						если x > 2
	х	+ 1,						если x > 2
		2		+ 1,				если x £ 2
	x			+ 1,				если x £ 2
18. y =	1 + 2x,							если		2 < x £ 3
								если x > 3
	4x + 2,							если x > 3
							,	если x £ 0
			1 - x				,	если x £ 0
								если 0 < x £ 2
20. y = 0,								если 0 < x £ 2
								если x > 2
	x - 2,							если x > 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
10.06.2025156.17 Кб0Tabl_Zakony_raspredelenia.pdf
#
10.06.202554.42 Кб0Voprosy_k_ekzamenu_ver_3.pdf
#
10.06.2025907.88 Кб0АГ_2вар.pdf
#
10.06.202511.86 Кб0Безымянный.png
#
10.06.20251.28 Mб0ДЗ_матл.docx
#
10.06.2025531.3 Кб0Задачи АГ.pdf
#
10.06.2025482.55 Кб0Задачи ВА.pdf
#
10.06.202590.1 Кб0Руководство_Математика_практика_КЗИ-212.pdf
#
10.06.202521.69 Кб0ФНП_3вар.docx
#
10.06.2025115.61 Кб0ФНП_3вар.pdf
#
10.06.20253.59 Mб0Функции нескольких переменных.pdf