Задачи АГ

Добавил:

FuwaFuwa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

(x + 5)(2x + 1)(3 +

) = lim[- (2x + 1)(3 +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2025

Размер:

531.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

З а д а ч а 13

Если в числителе или знаменателе стоят иррациональные выражения, то для получения сомножителя x − x 0 умножим числитель и знаменатель на сопряжен-

ные им выражения.

Пример 13

			6 − x	− 1		0
Вычислить	A = lim				=		.

		3 − 4 + x
	x→5	3 − 4 + x				0

− 1

[(

− 1)(

+ 1)](3 +

)

[(

)2 − 12 ](3 +

)

x→5

6 − x

4 + x

x→5

6 − x

4 + x

3 − 4 + x

(

6 − x + 1)([3 − 4 + x )(3 + 4 + x )]

(

6 − x + 1)([

4 + x )

]

lim

(5 − x )(3 +

)

= lim

4 + x

= lim

+ x

= 3.

( 6 − x + 1)(5 − x)

x→5

6 − x + 1 2

Контрольные варианты к задаче 13

Вычислить пределы функций:

lim

− 1

lim

2x + 3

− 1

lim

x→ 1

x + 3 − 2

x→ −1

5 + x − 2

x→ 3

− 2

lim

3x − 2

lim

x 2 + 4

lim

x→ 2

2x + 5 − 3

x→ 0

x 2 + 16 − 4

x→ −2

− 2

5 −

lim

9 + x

lim

22 − x

lim

x→ −5

4 − x − 3

x→ −3 1 − 4 + x

x → 1

3 −

1 −

10.

lim

x 2 − 7

11.

lim

x − 3

12.

lim

x→ −4 2 − 8 + x

x→ 4

2 − x

x→ 4

− 5

− 3

13.

lim

2x + 7

14.

lim

x 2

+ 9

15.

lim

x→ 9

x − 3

x→ 0

x 2 + 25 − 5

x→ − 3

− 5

−

16.

lim

2x + 7

17.

lim

2x +

18.

lim

x→ 9

4 −

x + 7

x→ 4

x − 2 −

x→ 4

− 3

−

19.

lim

2x + 3

20.

lim

1 + 3x

1 − 2

21.

lim

x + x 2

2 −

x + 1

x→ 3

x→ 0

x→ 2

− 2

− 1

22.

lim

1 + 3x 2

23.

lim

1 − x

24.

lim

x→ 0

x 2

+ x3

x→ −3 4 −

1 − 5x

x→ 3

2x + 3

− 3

x − 2 − 1

3 −

x + 11

2 −

x + 6

2 −

5 − x

3 −

8 + x

− 2

x + 5 − 3

	x + 4		− 1			.
						.
3 − 2x − 3
2 −
2 −		x			.


6x + 1 −				5
6x + 1 −				5
			−
3x + 2			−	8

2x + 5 − 3

2x − 2 − 2

x + 1 − 2

1 + 3x −

2x +

+ 9

− 3

x − 1

25.

lim

26.

lim

27.

lim

− 5x

x→ 5

x→ 0

4 − x 2 − 2

x→ 1

x + 3 − 2

−

− 2

− 3

28.

lim

3 − x

3 + x

29.

lim

x + 6

30.

lim

2x + 3

5z + x 2

x→ 0

x→ 2

x 2

− 4

x→ 3

3x + 7 − 4

З а д а ч а 14

Пример 14

2x 2 + 11x + 5

Вычислить A = lim

− 14 + x

x→−5

2x 2 + 11x + 5

(x + 5)(2x + 1)(3 +

)

(x + 5)(2x + 1)(3 +

)

x→−5

14 + x

3 - 14 + x

x→−5

(3 - 14 + x )(3 + 14 + x )

x→−5

9 - ( 14 + x )

lim

=lim

= - (-10 + 1)(3 + 14 - 5) = 9 × 6 =54.

Контрольные варианты к задаче 14

Вычислить пределы функций:

1. lim

x→ 0

5 + x -

5 - x

2x 2 - 7x - 4

3. lim

x→ 4

2x +1 - 3

− 2

− 1 .

5. lim

x +`

x→0

x − 2

− 3

7. lim

1 + 2x

x→ 4

x − 2

- 5

9. lim

9 + 2x

x → 8

2x 2 -15x -8

11. lim

1 + x

1 - x

x→ 0

7x 2 - x

13. lim

x3 - 64

x→ 4

4 + x -

2. lim

2x + 7

- 5

x→ 9 2х2 -19х + 9

- 5

4. lim

6x + 1

x→ 4 4 -

x + 12

− (1 + x)

1 − 2x + 3x 2

lim

x→ 0

− 2

lim

x + 13

x + 1

− 9

x→3

1 - 2x + x 2 - (1 + x)

10. lim

x→0

2 -

12. lim

x +1

3 + x -

x→3

10 - x - 6

14.

lim

1 - x

x→ −8

2x 2 + 17x + 8

+ 8

− 2

15. lim

16. lim

x→ −2 1 −

4x − 3

x→ 4 x 2 −

6x + 8

x 2 − x − 2

+ 27

17. lim

18. lim

x→ 2

4x + 1 − 3

x→ −3 4 −

1 − 5x

− 3

19. lim

2 + x

20. lim

1 + 2x

x→ 7

2x 2 − 13x − 7

x→ 4

6x + 1 − 5

4 −

− 2

21. lim

x + 12

22. lim

3x − 2

x→ 4 2x 2 − 7x − 4

x→ 2 x 2 − 5x + 6

− 3

5 −

23. lim

9 − x

24. lim

x 2 + 9

x→ 0

x + 4 − 2

x→ 4

2x + 1 − 3

− 2

− 3

25. lim

9 + x

26. lim

2x + 5

x→ −5 x 2 + 5x

x→ 2 2x 2 + 3x − 14

− 5

5 −

27. lim

2x + 7

28. lim

− x

x→ 9

x + 16 − 5

x→ −3

1 − x − 2

2x 2

+ 3x − 2

30. lim

2x 2

+ 9x + 4

29. lim

x→ −2 3 −

x + 11

x→ −4

3 − x 2 − 7

	З а д а ч а 15
Если при x → x 0	f (x) → ∞ иq(x) → ∞ , то отношение	f (x)	представляет собой

		q(x)

неопределенность ∞∞ . В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель раз-

делить почленно на старшую степень переменной х.

Пример 15

Вычислить предел A = lim

4x − 7 − 2x 2

∞

7x + x

x→∞

∞

4x − 7 − 2x

4x − 7 − 2x 2

−

− 2

0 − 0 − 2

lim

= lim

= −2 .

7x + x

+ 1

x→∞

x 2

Контрольные варианты к задаче 15

Вычислить пределы функций:

2 + 3х2 − х

1. lim

2x5

+ 7x

3 − 4

lim

− 3x

2 + 2

+ 3х

x→ ∞ 6x

x → ∞ 2x

2 − 3х5

x 2

− 3x + 1

2 − 3x + 1

3. lim

lim

+ x 2

x→ ∞ 2x3

− 2

x→ ∞ 3x3

+ x 2 + 4x

5. lim

x→ ∞

6. lim

x→ ∞

9. lim

x→ ∞

11. lim

x→ ∞

13. lim

x→ ∞

15. lim

x→ ∞

17. lim

x→ ∞

19. lim

x→ ∞

21. lim

x→ ∞

23. lim

x→ ∞

25. lim

x→ ∞

27. lim

x→ ∞

29. lim

x→∞

4x + 2x3 − 5x 4

2x5 + 5x 2 − 3

3 − 7x 2 + 5x3

2 + 2x − x3

x3 − 7x + 1 . 3x 4 + x + 3

5 − 2x − 3x 4

x5 + x + 3

2x3 + 7x 2 − 2 .

6x3 − 4x + 3

3x 2 + 4x − 5 .

6x 2 − 2x + 1

3x − x3 + 5 . x 2 + x − 4

4 − x − x 2

2x3 + x + 1 .

3x 2 − 5x + 1 .

6x 2 + 3x − 4

3x5 − x 2 + x . x5 − 2

7x 4 − 2x3 + 2 . x 4 + 3

− 2x5 − 2x3 + 4 7x5 + 3х2 + 2

4 + 5x 2 − 3x5

2x5 + 4x 4 − 1.

6. lim

4x5

− 2x + 1

+ 4x +

x→ ∞ 2x5

8. lim

4 + 5x 2 − 3x

8 − 6x − x5

x→ ∞

10. lim

2 − 2x 2

+ 5x 4

+ x 4

x→ ∞ 2 + 3x 2

x3 − 2x 2 + 3

12. lim

5x5 − x +

x→ ∞

5x3

− 8x + 1

14. lim

4x 2 + x +

x→ ∞

16. lim

4x5

− 3x 2

+ 8

2x5 + 2x −

x→ ∞

7x3

− 2x + 5

18. lim

4 − x 4

x→ ∞

20. lim

7x 4

− 4x 2

+ 3

x 4 + 1

x→ ∞

4x 6

− x3

+ 2x

22. lim

2x6

− 1

x→ ∞

24. lim

x3 − 3x + 1

− x + 5

x→ ∞ 7x 4

3x5

+ 6x − 5

26. lim

x→ ∞ x5 + 2x 2

− 3

28. lim

6x5

− 3x 2

+ 2

5 + 4x +

x→ ∞

3x3

+ x 2

+ 4x

30. lim

7 − 7x3

x→ ∞

З а д а ч а 16

Пример 16

Вычислить предел

(n + 7)3 - (n -1)3

lim (3n -1)2 - (5n +1)2

n→∞

	(n + 7)3 - (n -1)3		¥
A = lim			=	¥	.
	2	2
n→∞	(3n -1)	- (5n + 1)


=lim	(n3 + 3n2 × 7 + 3n72 + 73 )- (n3 - 3n						2 + 3n -1)	=
	(9n	2	- 6n +	1)- (25n	2	+10n +1)
n→∞

	n3	+ 21n 2 +	147n + 343	− n3 + 3n 2 − 3n + 1		24n 2 + 144n + 344		∞
= lim					= lim		=	.
		9n	2 − 6n + 1 −	25n 2−10n−1		− 16n 2 − 16n
n→∞					n→∞			∞

Здесь старшая степень при n – вторая и n 2 - степень, поэтому

24n 2 + 144n + 344

24 + 144 + 344

24 + 0 + 0

A = lim

n 2

= lim

n 2

= −

− 16n

−

16 − 0

− 16

n→∞

− 16 −

n 2

Контрольные варианты к задаче 16

Вычислить пределы числовых последовательностей:

1. lim

(3 − n)2

+ (3 + n)2

2. lim

(3 − n)4

− (2 − n)

− n)2

− (3 + n)2

− n)4

−

(1 + n)4

x→ ∞ (3

x→ ∞

3. lim

(3 − n)4

− (2 − n)

4. lim

(1 − n)4

− (1 + n)4

− n)3

− (1 + n)3

+ n)3

−

(1 − n)3

x→ ∞

x→ ∞ (1

5. lim

(6 − n)2

− (6 + n)

6. lim

(n + 1)3

− (n + 1)2

+ n)2

− (1 − n)2

− 1)3

−

(n + 1)3

x→ ∞ (6

x→ ∞ (n

7. lim

(1 + 2n)3

− 8n3

8. lim

(3 − 4n)2

+ 4n 2

− 3)3

−

(n + 3)3

x→ ∞ (1 + 2n)

x→ ∞ (n

9. lim

(3 − n)3

10. lim

(n + 1)2

+ (n − 1)2 − (n + 2)3

+ 1)2 − (n + 1)3

(4 − n)3

x→ ∞ (n

x→ ∞

11. lim

2(n + 1)

3 − (n − 2)3

12. lim

(n + 1)3

+ (n + 2)3

n 2 +

2n − 3

+ (n + 5)3

x→ ∞

x→ ∞ (n + 4)3

13. lim

(n + 3)3

+ (n + 4)3

14. lim

(n + 1)4

− (n − 1)

+ 3)4

− (n + 4)4

+ (n − 1)3

x→ ∞ (n

x→ ∞ (n + 1)3

15. lim

8n3

− 2n

16. lim

(n + 6)3

− (n + 1)3

+ 1)4

− (n − 1)4

+ (n +

4)2

x→ ∞ (n

x→ ∞ (2n + 3)

17. lim

(2n − 3)3

− (n + 5)3

18. lim

(n + 10)

+ (3n + 1)

3)3

(n + 6)3

− (n +

1)3

x→ ∞ (3n − 1)3 + (2n +

x→ ∞

(n + 7)

19. lim

(2n + 1) 3+ (3n + 2)3 .

20. lim

− (n +

x→∞

(2n + 3)

− (n − 7)

x→ ∞ (3n + 2)

− (4n + 1)

21. lim

(2n + 1)3 − (2n + 3)

22. lim

n3 − (n − 1)3

(2n + 1)2

+ (2n +

3)2

− n 4

x→ ∞

x→ ∞ (n + 1)4

23. lim

(n + 2)4 − (n − 2)

24. lim

(n + 1)4

− (n − 1)4

+ (n − 5)2

+ (n − 1)3

x→ ∞ (n + 5)2

x→ ∞ (n + 1)

25.

lim

(n + 1)3

− (n − 1)3

26.

lim

(n + 1)3

− (n − 1)

− (n − 1)2

+ (n − 1)2

x→ ∞ (n + 1)2

27.

lim

(n + 2)3

+ (n − 2)3

28.

lim

(n + 1)3

+ (n − 1)

n 4 + 2n 2 − 1

− 3n

x→ ∞

29.

lim

(n + 1)3

+ (n − 1)3

30. lim

(n + 2)2

− (n − 2)

n3 + 1

+ 3)2

x→ ∞

З а д а ч а 17

Если при x → x 0 , f (x) → +∞ и q(x) → +∞ , то разность f (x) − q(x) представляет собой неопределенность ∞ − ∞ . Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо

привести её к виду 0 или ∞ . 0 ∞

Пример 17

Вычислить предел A = lim (4x − 3 − 2x + 1)= (∞ − ∞).

x→+∞

Умножим и разделим на сопряженное выражение 4x − 3 + 2x + 1 , тогда

lim

(

−

)(

) = lim

(

)2 − (

4x − 3

2x + 1

4x − 3

2x + 1

4x − 3

2x + 1

4x − 3 +

2x + 1

4x − 3 +

2x + 1

x→+∞

= lim

2x − 4

= ∞ .

4x − 3 +

x→+∞

2x + 1

∞

Здесь старшая степень x - первая, поэтому

2x − 4

2 −

A = lim

= lim

4x − 3 +

2x + 1

4x − 3 +

x→+∞

4x − 3 + 2x + 1

x→+∞

2x + 1

x 2

2 −

= lim

= ∞.

→+∞

−

x 2

Контрольные варианты к задаче 17

Вычислить пределы функции:

(

−

(

−

1. lim

x + 3

x + 2

lim

x 2

+ x

x 2

− 5x

x → +∞

(

− 3x).

x→ ∞

(

− 5x).

3. lim

9x 2

lim

2x 2 − 3

x → + ∞

x → +∞

5. lim (x 2 + 12x − 9x 2 + 18x − 5 ).

x→ ∞

7. lim (x − x 2 + 2x ).

x→ + ∞

(

− x3 ).

9. lim

x 6 + 3x 2 + 1

x→ +∞

(

− −y).

11. lim

− 2y

x→ +∞

(

−

13. lim

u 2

− 4

u 2 + 4u

u→ ∞

(

−

15. lim

4x 2 + 8x − 7

x 2 + 4x

x→ ∞

(

− x).

17. lim

4x + x 2

x→ +∞

(2x −

19. lim

3x 2

+ 2x + 1

x→ +∞

21. lim (

− x).

x 2

+ 10x + 9

x→+∞

23. lim(

−

x 2 + 2x

x 2

− 9x

x→∞

(

− x).

25. lim

x 2

− 4x + 1

x→ +∞

(

− x).

6. lim

x 2 + 6x − 3

x→ +∞

(

−

8. lim

2x 2

− 3

x 2 + 1

x→ ∞

(

− x).

10. lim

x 2 + 8x + 9

x→ +∞

12. lim (

−

4x − 1

2x + 1

x→+∞

(

− y).

14. lim

(y + 2)(y + 6)

y→ +∞

(

− 3x).

16. lim

9x 2

+ 4x

x→ +∞

(2x −

18. lim

4x 2

+ 3x

x→ +∞

(

−

20. lim

x 2 + 1

x 2 − 3x

x→ +∞

(

−

22. lim

2x + 5

2x + 7

x→ +∞

(

− 5x).

24. lim

3x 2

− 2

x→ +∞

(

−

)

26. lim

2x 2

+ 5

x 2 + 2

x→ ∞

(

)

−

27.

lim

x 2 + 6x + 1

3x 2 + 1

28. lim

2x 2

+ 1

3x 2 − 1

x→ ∞

(

−

(

− 2x).

29.

lim

7x − 1

− 3

30. lim

8x 2

+ 1

x→ +∞

З а д а ч а

Две бесконечно малые функции α = α(x) и β = β(x) при x → x 0 или x → ∞ на-

зываются эквивалентными, если предел их отношения равен единице. Эквивалентность бесконечно малых функций записывается в виде α(х) ~ β(х) .

Таким образом, если lim			α(x) = 1, то α(х) ~ β(х) .
		x→x0	β(x)
		x→∞
	Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
1. lim	sin α(x)	= 1 sin α(x) ~ α(x) при α(x) → 0 .
1. lim		= 1 sin α(x) ~ α(x) при α(x) → 0 .
α ( x )→0	α(x)

lim

tg α(x)

= 1 tg α(x) ~ α(x) при α(x) → 0 .

α ( x )→0

α(x)

lim

arc sin α(x)

= 1 arcsin α(x) ~

α(x) при α(x) → 0

α( x )→0

α(x)

lim

arc tg α(x)

= 1 arc tg α(x) ~ α(x) при α(x) → 0 .

α( x )→0

α(x)

lim

ln(1 + α(x))

= 1 ln(1 + α(x)) ~

α(x) при α(x) → 0 .

α (x )→0

α(x)

lim

eα( x ) -1

=1 eα ( x )

-1 ~ α(x) при α(x) → 0 .

α( x )→0

a(x)

− 1

= 1

1 + α(x)

− 1 ~

α(x) при α(x) → 0 .

lim

1 + α(x)

α( x )→0

α(x)

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если одну или обе бесконечно малые заменить им эквивалентными, т. е. если α1 (х) ~ α2 (х) и

β1 (х) ~β2 (х) , то lim	α1 (x) = lim	α2 (x) .
х→х0	b1 (x) x→x0	b2 (x)

Заметим, что с помощью эквивалентных бесконечно малых раскрывают неоп-

ределенность 0 . 0

Пример 18

sin18x

Вычислить предел A = lim

tg13x

x→0

lim

sin18x

sin18x ~ 18x

= lim

18x

x→0

tg13x

tg13x ~ 13x

→0

13x 13

Пример 19

− 1

Вычислить предел A = lim

1 + tg3x

ln(1 + 4x)

x→0

lim

1 + tg3x -1

1 + tg3x -1 ~

tg3x ~

× 3x

= lim

x→0

ln(1 + 4x)

ln(1 + 4x) ~ 4x

x→0

Пример 20

Вычислить предел A = lim

cos 2x - cos3 2x

arcsin

x→0

lim

cos 2x - cos3 2x

= lim

cos 2x(1 - cos2 2x)

lim

cos 2x × sin 2 2x

arcsin

x→0

sin 2 2x ~ (2x)2

=lim

cos 2x × 4x

arcsin2 7x ~ (7x)2

49x

x→0

Контрольные варианты к задаче 18

Вычислить пределы функций:

1. lim

sin 2 3x

2. lim

x→ 0 x tg2x

x→ 0

x tgx

3. lim

4. lim

x→0

1 - cos x

x→ 0

5. lim

1 - cos x 2

6. lim

x→ 0

x 2 sin x 2

x→ 0

7. lim

1 − cos 6x

8. lim

x→ 0

x 2

x→ 0

9. lim

x tg3x

10. lim

x→0 cos x - cos

x→ 0

11. lim

1 - cos 8x

12. lim

sin 2 4x

x→ 0+0

x→ 0

13. lim

cos x -cos3 x

14. lim

x→ 0

x sin 3x

x→ 0

15. lim

1 − cos x

16. lim

x→ 0

x sin x

x→ 0

17. lim

cos3x − 1

18. lim

x→ 0 x tg2x

x→ 0

19. lim

1 − cos 4x

20. lim

x→0

x sin x

x→ 0

21. lim

cos3x − cos 2x

22. lim

x→ 0

x 2

x→ 0

23. lim

1 − cos 4x

24. lim

x→0

x tg3x

x→ 0

25. lim

1 − cos x 2

26. lim

arcsin4 3x

x→ 0

cos 4x − cos 2x

9x 2

1 − cos 8x . sin 2 5x

cos x − cos3x . x 2

sin 2 3x . tg2 2x

tg2 3x

1 - cos 4x

1 − cos 4x .

1 - cos 2x

1 − cos 3x . x 2

x tgx

1 - cos 4x

1 − cos6x .

1 - cos 4 x

1 − cos8x .

1 - cos 4x

cos x -cos5 x . x sin 3x

1 − cos 6x .

xtg4x

1− cos5x . 2x tg2x

27.	lim	1 − cos 7x	.

	x→ 0	sin 2 5x
29.	lim	cos 2x − cos3x		.

	x→ 0	arcsin2 3x

Пример 21


28. lim	x tg2x	.

x→ 0	1 − cos x
30. lim	1 − cos3x		.

x→ 0	sin 2 2x

З а д а ч а 19

2x + 7

Вычислить предел

A = lim

arctg15x

x→0

= lim

(

)(

) =

lim

2x + 7

arctg15x

(

2x + 7 +

7 )× arctg15x

x→0

(

)2 - (

lim

2x + 7

( 2x + 7 +

x→0

7 )× arctg15x

= lim

arctg 15x ~ 15x

x→0

(

+ 7 +

7 )× arctg15x

lim

(

2x + 7 +

7 ×15

x→0

7 )×15x

Контрольные варианты к задаче 19

Вычислить пределы функций:

1. lim

tg 5x

2. lim

x + 16 - 4

x→0

x→ 0

-1

3. lim

1 + x × sin x

4. lim

3x 2

x→ 0

(

−

)sin

x + 2

6. lim

5. lim

x→ 0

x→0

cos3x − cos5x

7. lim

8. lim

+ 3 −

x→ 0

x→0

− 2

9. lim

x + 4

10. lim

x→0

sin 3x

x→ 0

sin

12. lim

11. lim

x→ 0

5 -

x→ 0

x + 25

sin 4x

x + 4 - 2 .

3x + 2 − 2 . tg 3x

tg 5x

x + 8 − 8

1 + x − 1 − x . arctg3x


1 - 1 - x 2				.
cos x - cos3				.
cos x - cos3			x
		-				.
	1 + sin x	-			1 - sin x

tg x 4

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
10.06.2025156.17 Кб0Tabl_Zakony_raspredelenia.pdf
#
10.06.202554.42 Кб0Voprosy_k_ekzamenu_ver_3.pdf
#
10.06.2025907.88 Кб0АГ_2вар.pdf
#
10.06.202511.86 Кб0Безымянный.png
#
10.06.20251.28 Mб0ДЗ_матл.docx
#
10.06.2025531.3 Кб0Задачи АГ.pdf
#
10.06.2025482.55 Кб0Задачи ВА.pdf
#
10.06.202590.1 Кб0Руководство_Математика_практика_КЗИ-212.pdf
#
10.06.202521.69 Кб0ФНП_3вар.docx
#
10.06.2025115.61 Кб0ФНП_3вар.pdf
#
10.06.20253.59 Mб0Функции нескольких переменных.pdf