Добавил:

FuwaFuwa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ДУ Kvasova,Makarova,Makarov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2025

Размер:

439.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

e (t) = L	d i	+ R i +	1	∫ i d t .	(1)
	d t		c

Получилось интегро-дифференциальное уравнение, которое относится к одному из наиболее сложных типов уравнений.

Продифференцировав уравнение (1), придем к обычному дифференциальному уравнению для определения силы тока для i (t)

d2 i

+ R

d i

i =

d e

(2)

d t 2

d t

Замечание. Если общее решение линейного уравнение

L[ y ] º y(n ) + a1 y( n−1) + ... + a n−1y¢ + a n y = H sin (v t + j) ,

(3)

( H > 0, v > 0, ϕ,

a j R, j = 1, 2, ...,

n )

где общее решение уравнения L[ y ] = 0

имеет вид y = y + y ,

	~
y = yo.o. → при t →∞, а		= y
	y

ч.н.

– периодическое с периодом Т = 2 π – частное v

решение уравнения (3), то говорят, что решение y – описывает переходный ре-

жим, а решение		~
жим, а решение		y – установившийся режим .
	Можно доказать, что если все корни характеристического уравнения D (λ) = 0
оператора L[ y ]		имеют отрицательные действительные части, то уравнение (3)
имеет единственное Т =			2 π	–	периодическое (установившееся) решение.
имеет единственное Т =				–	периодическое (установившееся) решение.
			v
	в) упругие колебания материальной точки массы							m около положения равно-
весия
	a	m			x (t) – отклонение от положения равновесия
					x (t) – отклонение от положения равновесия
					m x′′ (t) = − k x (t) , где − k x (t) - сила упругости.
		x (t)			Обозначая	k	w2 ,	получим x¢¢ + w2 x = 0 - сво-
						k

						m
					бодные упругие колебания;
					бодные упругие колебания;

г) задача о радиоактивном распаде.

Из опыта известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству вещества в данный момент. Если y (t) – количество вещества, то y′ = − k y . Берется знак «минус», т. к. количество вещества уменьшается.

Интегрируя, получим y = C × e− k x – решение уравнения; д) системы дифференциальных уравнений.

При описании некоторых процессов получаются системы д.у. Например, в химической кинетике получается система уравнений следующего вида: пусть С1 и С2 – концентрации двух веществ, участвующих в реакции, тогда

d С1	= -k C + k			C	,	d С2	= k C - k			C	,
	= -k C + k			C	,		= k C - k			C	,
d t	1	1	2	2		d t	1	1	2	2
d t						d t

где k1 , k 2 – константы.

Геометрические приложения.

В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t , нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.

n =

y ×

1 + y¢2

y¢

Sn =

y × y′

y¢

Пример 21. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, - 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Решение.

Допустим, что искомая кривая описывается функций y (x) . Найдем ее. Угло-

вой коэффициент	tg α равен y′ . Имеем y′ = 3 y и начальное условие y (0) = − 2 .
Решим уравнение		d y	= 3 d x; ln	y	= 3x + ln C или	y + Ce3 x . Используя началь-


		y

ное условие, получим y = -2e3 x .
Пример 22.	материальная точка массой 10− 3 кг					движется прямолинейно под

действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента t = 0 , и обратно пропорционально скорости движения точки. В момент t = 0 с ско-

рости равнялась 5 ×10− 2			м/с , а сила 4 ×10− 5 Н. Какова будет скорость спустя ми-
нуту после начала движения?
Решение.
По второму закону Ньютона					m	d v	= F(t) , F(t) = k		t	, где k – коэффициент

						d t			v
пропорциональности. Найдем k				из условия, что в момент t = 10c скорость равня-
лась 5 ×10− 2 м/с, а сила			4 ×10− 5	Н,	1Н = 1 кг× м/ с2 .
Имеем 4 ×10− 5 кг×м/ с2			= k ×10c × 5−1 ×102					м−1 / c k = 20 ×10− 8 кг × м2 / с4 . Решим
уравнение vt =	k t	, v d v = k t d t,		v2	= kt 2			+ 2C .Произвольную постоянную С най-

	v				скорость v = 5 ×10− 2 м/ c , т.е. v (10) = 5 ×10− 2 ,
дем из условия: в момент t = 10c

25 ×10− 4 = 20 ×10− 8 ×102 + 2C 2C = 25 ×10− 4 - 20 ×10− 6 .

Найдем скорость, которая будет спустя минуту после начала движения:

v2 =20 ×10− 8 × 36 102 + 25 ×10− 4 - 20 ×106 = 32 ×10− 4 ; v = 4 2 ×10− 2 м/ с.

Пример 23. Тело массы m скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость v0 . На тело действует сила трения, равная − k m . Найти расстояние, которое тело способно пройти.

Решение.

′′

Уравнение движения имеет вид m × stt = - k m . Найдем решение этого уравне-

ния при начальных s (0) = 0, s′(0) = v0 . Имеем

s′′ = -k, s′ = - kt + C1 ,

s (t) = −

k t 2

+ C t + C

;

C , C

найдем из начальных условий: C

= v

, C

= 0 .

Получим s (t) = −

k t 2

+ v0 t . Найдем момент времени t, при котором тело остано-

вится: s¢ = -k t + v0

= 0

t =

. За время t =

пройденный путь

s =

v02

2 k

Пример 24. К источнику с э. д. с. равной l(t) = E − const подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, омического сопротивления R и емкости С. Найти ток I в цепи как функцию времени t, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение.

По условию задачи L (t) = E = const . В этом случае d e = 0 и уравнение (2) по-

d t

лучается однородным

d2i

d i

i = 0

(4)

d t 2

L C

d t

Уравнение (4) аналогично уравнению свободных механических колебаний с

учетом сопротивления среды. Решим уравнение (4).

Характеристическое уравнение l2

l +

= 0

L C

имеет корни l1,2 = -

R 2

= -

R 2 c - 4 L

4 L2

2 L

L C

4 L2C

Если R 2 C - 4 L > 0 , то оба корня x, y

действительные и общее решение есть

функция непериодическая. Соответственно апериодическим будет и ток. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдет так же и при R 2 C - 4 L = 0 .

Если же	R 2 C - 4 L <
общее решение		i (t)			= e− δ t
где положено	d =			R	, w2	=

				2 L	1


	L ×		d i			=
			d t		t = 0

0 , то корни х.у.								будут комплексно-сопряженными и
	× (C1		cosw1 t			+ C2		sin w1t),
	1	-		R 2		, определяет электрические колебания.
				(4 L)2
	L C

	E , откуда					d i		=	E	,
					d t
							t = 0 L

и, таким образом, начальные условия запишутся в виде

= 0,

d i

(5)

= 0

d t

t = 0

C1 и С2 найдем, используя начальные условия (5)

С = 0

L w1

Таким образом

i (t) =

e− δ t

× sin w t .

L w1

Упражнения. Составить дифференциальное уравнение и решить его.

1) На материальную точку масса

действует постоянная сила, сообщая точ-

ке ускорение

а . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление,

пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен k. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент

точка находилась в покое?
	m			=	k	t

Ответ: V (t) =			- e		m

	k	a 1				.

2)Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равна р.

Ответ: y2 = 2 p (x + C) .

3)Кривая проходит через точку (0; 1) и обладает тем свойством, что в каждой

ееточке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую.

Ответ: y = ex2 .

4) Сила тока в электрической цепи с омическим сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифференциальному уравнению

L d i + R i = E , d t

где Е– электродвижущая сила. Найти зависимость силы тока i (t) от времени, если

Е равно E	0	и i (0)	= 0 .
			E			−	R	t
			E	0		−		t
Ответ:		i (t) = -		0	e		L		- 1 .
Ответ:		i (t) = -			e		L		- 1 .
			R
			R

Задача 15. По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его.

1.Определить кривую, проходящую через точку (3,4), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

2.Материальная точка с массой m движется вдоль оси Oy , и на нее в каж-

дый момент времени действует сила, пропорциональная отклонению точки от начала координат и направленная к началу координат. Найти закон движения точки, если в момент t = 0 она имела ординату y0 и скорость v0 .

3.Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которая пропорциональна скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5 с станет 8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/с?

4.Доказать, что кривая, угловой коэффициент касательной в любой точке которой пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.

5.Найти кривую, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

6.Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость про-

порциональная проходимому пути и если тело проходит 100 м в 10 с и 200 м в

15с.

7.Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

8.Найти кривую, обладающую тем свойством, что величина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания.

9.Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси к радиусу-вектору, равно постоянной величине.

10.Найти кривую, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-нибудь точке кривой, равна расстоянию этой точки от начала координат.

11.Точка массы m движется прямолинейно. На нее действует сила, пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности k1 ). Кроме того, точка ис-

пытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности k 2 ). Найти зависимость скорости от времени, считая, что в начальный момент скорости равна нулю.

12. Найти кривые, обладающие тем свойством, что отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Oy , равен квадрату абсциссы точки ка-

сания.
13.	Найти кривую, в которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат,
равен полусумме координат точки касания.
14.	Дана L R – цепь с э.д.с. равной а) Е = const , б) sin ω t . Найдите ток i в

цепи как функцию времени t , если в начальный момент ток в контуре равен нулю.

15. Найти кривую, для которой произведение абсциссы какой-нибудь точки на величину отрезка, отсекаемого нормалью на оси Oy , равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.

16.Найти время, нужное для того, чтобы упасть на Землю с высоты 400000 км (приблизительно расстояние Луны от центры Земли), если эта высоты исчисляется от центра Земли, и радиус равен приблизительно 6400 км.

17.Материальная точки движется по прямой со скоростью, обратно пропор-

циональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость v0 = 20 м/с. Опреде-

лить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения.

18.Найти закон движения материальной точки массы m по прямой ОА под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния точки x = OM от неподвижного центра О.

19.Определить кривую, у которой радиус кривизны равен постоянной вели-

чине.

20.Тело массой m падает с некоторой высоты со скоростью v. При падении тело испытывает сопротивление, пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движения падающего тела.

21. Материальная точка массы m движется прямолинейно под действием силы F, прямо пропорциональной времени от начала движения и обратно пропорциональной скорости v. Установить зависимость между скоростью v и временем t, если при t = 0 v = 0 .

	d v
Указание: согласно второму закону Ньютона, F = m ×			d v	-

	d t
		d t

ускорение .

22.Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произве-

дению скорости движения v на время t. Установить зависимость между скоростью и временем, если при t = 0 v = 0 .

23.Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости ω . Выразить ω как функцию времени, если из-

вестно, что за 25 с с начала движения угловая скорость снизилась со 100 об/с до

50об/с.

24.Найти кривую, проходящую через начало координат, и такую, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой в некоторой точке, ординатой этой точки и осью Ox , пропорциональна площади криволинейной трапеции, образованной кривой, осью Ox и ординатой этой точки.

25.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2; 0), если сумма

длин ее касательной и подкасательной равна произведению координат точки касания.

26.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2), если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

27.Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна а.

28.Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет постоянную длину а.

29.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1/ 2), если для любого

отрезка [1; x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей другой этой кривой, равна отношению абсциссы x концевой точки к ординате.

30. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если для любого отрезка [a; x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.6 Нау-

ка, 1972.

2.Гудыменко Ф. С., Павлюк И. А., Волкова В.А. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Киев, 1972.

3.Глонтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике. – 1958. – Т. 2.

4.Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Высш. школа, 1978.

5. Креер Л. И. Сборник управжнений по дифференциальным уравнениям. – М.: Учпедгиз, 1948.

6. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. – М.: Высш. школа, 1989.

7. Сборник задач по математике	для втузов / В. А. Болгов и др.; Под ред.
А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. –	М.: Наука, 1986.

8.Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям . – М., 1961.

9.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Нау-

ка, 1982.

10.Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.:

Наука, 1973.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
10.06.2025536.97 Кб0Matem_statistika_Lab_rab_1_i_2.docx
#
10.06.2025531.62 Кб0ДЗ по Т.В. по вариантам.pdf
#
10.06.202532.78 Кб0Документ Microsoft Word.docx
#
10.06.2025439.34 Кб0ДУ Kvasova,Makarova,Makarov.pdf
#
10.06.2025104.58 Кб0Руководство_Теория вероятностей и математическая статистика_практика_КЗИ-212.pdf
#
10.06.202584.48 Кб0Титульный лист.doc